88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד א'

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

הוכח/הפרך: הסדרה $a_n$ מתכנסת אם"ם לכל תת-סדרה $a_{n_k}$ יש-תת סדרה מתכנסת.

הפרכה

כל סדרה חסומה שאינה מתכנסת מהווה דוגמא נגדית, מכיון שכל תת-סדרה חסומה גם היא ולפי משפט בולצאנו-ויירשטראס יש לה תת-סדרה מתכנסת. (למשל $a_n=(-1)^n$)

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

$\sum (-1)^n\frac{2^{n^3}}{(n!)^n}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל מבחן קושי, לקבלת:

$b_n=\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{2^{n^2}}{n!}$

קל לראות ש- $\frac{b_{n+1}}{b_n}\to\infty$ ולכן $b_n\to\infty$ . לכן $|a_n|\to\infty$ ולכן הטור מתבדר לחלוטין.

ב

$\sum (-1)^n\frac{\sin(\frac1{n})}{\log^2(n)}$

נבדוק התכנסות בהחלט. קל לראות ש-

$\frac{\frac{\sin\left(\frac1{n}\right)}{\log^2(n)}}{\frac1{n\cdot\log^2(n)}}\to 1$

ולכן הטורים חברים. נוכיח שהשני מתכנס בעזרת מבחן העיבוי (מותר כי זו סדרה מונוטונית יורדת ל- $0$):

$\frac{2^n}{2^n\cdot\log^2(2^n)}=\frac1{n^2\cdot\log^2(2)}$

זה קבוע כפול טור שידוע כמתכנס, לכן סה"כ הטור מתכנס בהחלט.

ג

$\sum (-1)^n\frac{\pi^n}{\frac{(2n)!}{(n!)^2}}$

נבדוק התכנסות בהחלט, נפעיל את מבחן דלאמבר לקבל $\bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\bigg|=\pi\frac{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}\to \frac{\pi}{4}<1$

ולכן הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 4

זהה וסווג את נקודות אי-הרציפות.

א

$e^{-\frac1{x^3}}$

נקודת אי-הרציפות היא $0$ . הגבול משמאל הנו $\infty$ ולכן זה מין שני.

ב

$\frac{\sin(x^2)}{\Big|\sin(x^2)\Big|}$

כמו שלמדנו, הפונקציה הזו מקבלת $1$ כאשר $\sin(x^2)$ חיובי, ו- $-1$ כאשר הוא שלילי, ב- $0$ היא לא-מוגדרת ולכן זו נקודת אי-רציפות. לכן סה"כ נקודות אי-הרציפות הנן $\pm \sqrt{\pi k}$ כאשר $k\ge 0$ . פרט ל- $0$ , הן כולן מין ראשון מכיון שמצד אחד הסינוס שלילי, ומהצד השני חיובי (מימין לנקודת אי-הרציפות או משמאלה).

ב- $0$, אנחנו מתקרבים אליו רק מהצד החיובי שם הסינוס חיובי ולכן הוא נקודת אי-רציפות סליקה.

ג

$f'(x)$ כאשר $f(x)=|x^2-1|$

נחלק לתחומים. בתחום $x>1\ ,\ x<-1$ מתקיים $f(x)=x^2-1$ ולכן $f'(x)=2x$ .

בתחום $-1<x<1$ מתקיים $f(x)=1-x^2$ ולכן $f'(x)=-2x$ .

קל איפוא לראות שבנקודות $\pm1$ יש אי-רציפות ממין ראשון (שם הנגזרת מתקרבת ל- $2$ מצד אחד ו- $-2$ מצד שני).

שאלה 5

אילו מהפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים המסומנים?

א

$x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)$ בתחום $(0,\infty)$ .

קל לראות שהפונקציה רציפה בקטע, נבדוק גבולות בקצות הקטע:

$\lim_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)=0$ אפס כפול חסומה

$\lim_{x\to\infty}x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac1{x}\cdot\frac{\sin\left(\frac1{x^2}\right)}{\frac1{x^2}}=0\cdot 1=0$

שני הגבולות סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

$\frac{1}{1+\ln(x)}$ בתחום $(0,\infty)$ .

קל לראות שהפונקציה אינה מוגדרת בנקודה $e^{-1}$ שנמצאת בתחום ולכן אינה רציפה במ"ש שם.

ג

$\sqrt{\Big|\cos(\pi x)\Big|}$ בתחום $(-\infty,\infty)$ .

זו הרכבה של פונקציה רציפות במ"ש: $\sqrt{x},|x|,\cos(x),\pi x$ ולכן רציפה במ"ש בתחום.

שאלה 7

חשב את הקירוב הלינארי של $h=g^{-1}\circ f^{-1}$ ב- $x_0=2$ .

הקירוב הלינארי של $h(x)$ באזור הנקודה $x_0$ , הנו $h(x_0)+h'(x_0)(x-x_0)$

במקרה שלנו $h'(2)=(g^{-1}\circ f^{-1})'(2)=\Big[\frac{d}{dx}g^{-1}\Big(f^{-1}(2)\Big)\Big]\cdot \Big[\frac{d}{dx}f^{-1}(2)\Big]= \frac{1}{g'\Big(g^{-1}\big(f^{-1}(2)\big)\Big)}\cdot \frac1{f'\big(f^{-1}(2)\big)}=$

ולכן סה"כ $h(x)=7-\frac{x-2}{7}$

המבחן של דר' שמחה הורוביץ

שאלה 3

תהי $g$ פונקציה רציפה במ"ש בקטע $(0,1)$ . נניח שקיים $\epsilon>0$ כך שמתקיים $g(x)>\epsilon$ לכל $x\in (0,1)$ . הוכח שהפונקציה $\frac1{g}$ רציפה במ"ש בקטע $(0,1)$ .

הוכחה

לפי הנתון, לכל $\alpha>0$ קיים $\delta>0$ כך שאם $\Big|x_1-x_2\Big|<\delta$ מתקיים $\Big|g(x_1)-g(x_2)\Big|<\alpha\cdot\epsilon^2$ .

לכן, מתקיים $\Bigg|\frac1{g(x_1)}-\frac1{g(x_2)}\Bigg|=\Bigg|\frac{g(x_2)-g(x_1)}{g(x_1)\cdot g(x_2)}\Bigg|<\frac{\alpha\cdot\epsilon^2}{\epsilon^2}=\alpha$

כפי שרצינו. $\blacksquare$

שאלה 6

תהי $f$ פונקציה בעלת חמש נגזרת רציפות על הממשיים. נניח ש- $f(0)=f'(0)=\ldots=f^{(4)}(0)=0$ וגם $f^{(5)}(0)>0$ . עוד נניח שלכל $x\ne 0$ מתקיים $f'(x)\ne 0$ . הוכיחו שלכל $x>0$ מתקיים $f(x)>0$ .

הוכחה

מכיון שהפונקציה ו- 4 נגזרותיה מתאפסות באפס, פולינום טיילור מסדר $4$ בסביבת הנקודה $0$ שווה זהותית ל- $0$ . השארית היא מהצורה $\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5$ כאשר $0<c<x$ .

מכיון ש- $f^{(5)}(0)>0$ והנגזרת החמישית רציפה, אז קיימת סביבה של $0$ בה $f^{(5)}>0$ . לכן בסביבה ימנית של $0$ מתקיים $f(x)=\frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5>0$ .

נותר להוכיח ש- $f(x)>0$ עבור $x>0$ גם מחוץ לסביבה הימנית הזו. נניח בשלילה ש- $f(x)\le 0$ אזי לפי משפט ערך הביניים $f(x)=0$ עבור איזה $x>0$ . אבל גם $f(0)=0$ ולכן לפי משפט רול הנגזרת מתאפסת עבור נקודה גדולה מ- $0$ בסתירה.