שינויים
לכן, עבור <math>\frac{1}{n}</math> קיימת תת סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr עד כדי <math>\frac{1}{n}</math>. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr עד כדי <math>2/n</math> (המרחק בין גבול תת הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה לגבול תת הסדרה).
נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>2/n</math> מr ולכן היא וודאי מתכנסת לr כפי שרצינו.
==שאלה 2==
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
===א===
<math>\sum (-1)^n\tan{\frac{1}{n}}</math>
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
<math>\lim\frac{\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}\cos\frac{1}{n}}=1</math>
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות שtan מונוטונית באיזור אפס (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית לאפס ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.
