שינויים

תהי סדרה <math>a_n</math>, ותהי <math>E </math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E </math> סגורה

על -מנת להוכיח שE ש- <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r </math> היא נקודת הצטברות של <math>E </math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> .

נניח <math>r </math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל אפסילון גדול מאפס <math>\epsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב לr ל- <math>r</math> עד כדי אפסילון<math>\epsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת -סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור <math>\frac{1}frac1{n}</math> קיימת תת -סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr ל- <math>r</math> עד כדי <math>\frac{1}frac1{n}</math>. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr ל <math>r</math> עד כדי <math>2/\frac2{n}</math> (המרחק בין גבול תת -הסדרה לבין <math>r </math> ועוד מרחק בין איברי תת -הסדרה לגבול תת -הסדרה).נבחר איברים כאלה מתתי -הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>2/\frac2{n}</math> מ- <math>r</math> מr ולכן היא וודאי ודאי מתכנסת לr ל- <math>r</math> כפי שרצינו.<math>\blacksquare</math>

<math>\sum (-1)^n\tan{\frac{1}left(\frac1{n}}\right)</math>

<math>\lim\frac{\tan\frac{1}left(\frac1{n}\right)}{\frac{1}frac1{n}}=\lim\frac{\sin{\frac{1}left(\frac1{n}}\right)}{\frac{1}frac1{n}\cdot\cos\frac{1}left(\frac1{n}\right)}=1</math>

קל לראות שtan ש- <math>\tan</math> מונוטונית באיזור אפס באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית לאפס ל- <math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''.

<math>\sum (-1)^nen\cdot e^{\fracfrac1{1}{logn}\log(n)}</math>

קל לראות ש - <math>e^\frac1{\frac{1}{logn}log(n)}\rightarrow to 1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''.

<math>\sum (-1)^n{\frac{\cos\big(logn\log(n)\big)}{n(logn)\cdot \log^3(n)}}</math>

בערך מוחלט זה קטן מ- <math>\sum\frac{1}frac1{n(logn)\cdot log^3(n)}</math>. זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור <math>\sum\frac{2^n}{2^n(\log(2^n))^3}=\sum\frac{1}frac1{n^3\cdot (log2)\log^3(2)}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''.

זהה וסווג נקודות אי -רציפות:

<math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^3-x^2}\right)</math>

נקודות אי -הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0 ו1</math> ו- <math>1</math>. באפס מימיןב- <math>0^+</math> , <math>\frac{1}frac1{x^3-x^2}\rightarrow to -\infty</math>. מכיוון מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\rightarrow to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מאפס מ- <math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד -צדדי ולכן נקודת האי -רציפות אפס הינה <math>0</math> הנה '''ממין שני'''.

בנקודה <math>1 </math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת לאפס ל- <math>0</math> כפול חסומה ' ולכן סה"כ יש שאיפה לאפס ל- <math>0</math> וזו נקודת אי -רציפות סליקה.

<math>f(x)=[\big\lfloor|x|]\big\rfloor</math>

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה לאיקסל- <math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הינן הנן נקודות אי -רציפות ממין ראשון (הגבול הוא אחד <math>1</math> מצד אחד ואפס ו- <math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n </math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי -רציפות מ'''מין ראשון'''.

<math>\tan\left(\frac{1}frac1{\log(x^2)}\right)</math>

באפס הלוג ב- <math>0</math> , ה- <math>\log</math> הולך למינוס אינסוף ל- <math>-\infty</math> ולכן <math>\frac{1}frac1{\log(x^2)}\rightarrow to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא אפס <math>0</math> וזו נקודת אי -רציפות '''סליקה'''.

בפלוס ומינוס אחד ב- <math>\pm 1</math> הלוג הולך לאפס. ל- <math>0</math> ולכן מצד אחד אחד חלקי הלוג <math>\frac1{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הtan ה- <math>\tan</math> עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד -צדדי ולכן אלה נקודות אי -רציפות מ'''מין שני'''.

במקומות בהם <math>\frac{1}frac1{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי -רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^{\frac{1}frac1{\frac{\pi}{2}+\pi k}}}</math>

האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?

<math>e^{-|tg\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\frac{\pi/}{2},\frac{\pi/}{2}\right)</math>

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|tg\tan(x)|\rightarrowto\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם אפס <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.

<math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים.

<math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו לוג <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.

<math>\cos\big(logx\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>

ניקח שתי סדרות ששואפות לאפסל- <math>0</math>, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת אחד <math>1</math> ועל השנייה מינוס אחדהשניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math>

תהי <math>f </math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math>

הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math>.

לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math>. ברור ש<math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיוון שf ומכיון ש- <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}(\big[f(x)-f(x_0))\big]=0</math>. לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\rightarrow to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim_lim\limits_{x\rightarrow to x_0}f'(x)</math>

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=x^2sin2\cdot\sin\left(1/\frac1{x}\right)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(0)=0</math>. ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט לאפסל- <math>0</math>, נוכיח שהיא גם גזירה באפסב- <math>0</math> . <math>f'(0)=\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_lim\limits_{x\rightarrow to 0}xsinx\cdot\sin\left(1/\frac1{x}\right)=0</math>.

לכן ערך הנגזרת באפס ב- <math>0</math> הוא אפס<math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב<math>x_0=0</math>?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל<math>2xsin2x\cdot\sin\left(1/\frac1{x}\right)-\cos\left(1/\frac1{x}\right)</math>. לכן הגבול שלה באפס גבולה ב- <math>0</math> לא קיים (אפס <math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- <math>(-1,1)</math>, הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת -קטע סגור של <math>(-1,1)</math>.

למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה <math>f(x)=x^2sin2\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)</math>, <math>f(0)=0</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הינה הנה <math>2xsin2x\cdot\sin\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)-2\frac{1}frac1{x}\cos\left(\frac{1}frac1{x^2}\right)</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}frac1{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\rightarrow to -\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math>.