שינויים
[[קטגוריה:פתרון מבחנים]][[קטגוריה:אינפי]]
=המבחן של פרופ' זלצמן=
==שאלה 1==
תהי סדרה <math>a_n</math> , ותהי <math>E </math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E </math> סגורה
===הוכחה===
נניח <math>r </math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל אפסילון גדול מאפס <math>\varepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב לr ל־<math>r</math> עד כדי אפסילון<math>\varepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת -סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור <math>\frac{1}{n}frac1n</math> קיימת תת -סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac{1}{n}frac1n</math>. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr ל־<math>r</math> עד כדי <math>2/n\frac2n</math> (המרחק בין גבול תת הסדרה תת־הסדרה לבין <math>r </math> ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה תת־הסדרה לגבול תת הסדרהתת־הסדרה).נבחר איברים כאלה מתתי הסדרותמתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>2\frac2n</nmath> מ־<math>r</math> מr ולכן היא וודאי ודאי מתכנסת לr ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math> ==שאלה 2==בדוק התכנסות של הטורים הבאים: ===א===<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)</math> נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני: <math>\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1</math> ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט. קל לראות כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''. ===ב===<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}</math> קל לראות כי <math>e^\frac{1}{\log(n)}\to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''. ===ג===<math>\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}</math> בערך מוחלט זה קטן מ־<math>\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור <math>\sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''. ==שאלה 3==ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה ==שאלה 4==זהה וסווג נקודות אי־רציפות:===א===<math>(x^2-1)\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math> נקודות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0,1</math> . ב־<math>0^+</math> , <math>\frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty</math> . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ־<math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן נקודת אי־הרציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''. בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל־<math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל־<math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות סליקה. ===ב===<math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math> נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל־<math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו־<math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''. ===ג===<math>\tan\left(\frac{1}{\log(x^2)}\right)</math> ב־<math>0</math> , הלוגריתם שואף ל־<math>-\infty</math> ולכן <math>\frac{1}{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי־רציפות '''סליקה'''. ב־<math>\pm1</math> הלוגריתם שואף ל־<math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac{1}{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. במקומות בהם <math>\frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי־רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math> ==שאלה 5==האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים? ===א===<math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)</math> הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. ===ב===<math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים. <math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math> . בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''. ===ג===<math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math> ניקח שתי סדרות ששואפות ל־<math>0</math> , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math> ==שאלה 6==נגזרות ==שאלה 7==תהי <math>f</math> גזירה בקטע <math>(a,b)</math> ותהי נקודה <math>x_0\in (a,b)</math> ===א===הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> . לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור כי <math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש־ <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל. נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו. ===ב===מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math> כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac1x\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל־ <math>0</math> , נוכיח שהיא גם גזירה ב־<math>0</math> .:<math>f'(0)=\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\sin\left(\frac1x\right)=0</math>לכן ערך הנגזרת ב־<math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב־<math>x_0=0</math>? הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל־<math>2x\sin\left(\frac1x\right)-\cos\left(\frac1x\right)</math> . לכן גבולה ב־<math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו. ==שאלה 8==תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב־<math>(-1,1)</math> . הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת־קטע סגור של <math>(-1,1)</math> . ===הפרכה===למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה :<math>f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)&:x\ne0\\0&:x=0\end{cases}</math>היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)-\frac2x\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)</math> . נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to-\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> .
