שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

נוספו 78 בתים, 08:29, 28 באוגוסט 2018
=המבחן של פרופ' זלצמן=
==שאלה 1==
תהי סדרה <math>a_n</math>, ותהי <math>E</math> קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: <math>E</math> סגורה
===הוכחה===
על-מנת על־מנת להוכיח ש- כי <math>E</math> סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם <math>r</math> היא נקודת הצטברות של <math>E</math> אזי היא גם גבול חלקי של <math>E</math> .
נניח <math>r</math> נקודת הצטברות של <math>E</math> , לכן לכל <math>\epsilonvarepsilon>0</math> קיים גבול חלקי הקרוב ל- ל־<math>r</math> עד כדי <math>\epsilonvarepsilon</math> , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור <math>\frac1{n}frac1n</math> קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל- ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac1{n}frac1n</math> . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל ל־<math>r</math> עד כדי <math>\frac2{n}frac2n</math> (המרחק בין גבול תת-הסדרה תת־הסדרה לבין <math>r</math> ועוד מרחק בין איברי תת-הסדרה תת־הסדרה לגבול תת-הסדרהתת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי-הסדרותמתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>\frac2{n}frac2n</math> מ- מ־<math>r</math> ולכן היא ודאי מתכנסת ל- ל־<math>r</math> כפי שרצינו. <math>\blacksquare</math>
==שאלה 2==
===א===
<math>\sum sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1{n}frac1n\right)</math>
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
<math>\limlim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1{n}frac1n\right)}{\frac1frac1n}=\lim_{n\to\infty}}=\lim\frac{\sin\left(\frac1{n}frac1n\right)}{\frac1{n}frac1n\cdot\cos\left(\frac1{n}frac1n\right)}=1</math>
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות ש- כי <math>\tan</math> מונוטונית באזור <math>0</math> (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן <math>\tan(0)=0</math> והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל- ל־<math>0</math> ולפי משפט לייבניץ הטור כולו '''מתכנס בתנאי'''.
===ב===
<math>\sum sum_{n=1}^\infty(-1)^n\cdot ene^\frac1frac{1}{\log(n)}</math>
קל לראות ש- כי <math>e^\frac1frac{1}{\log(n)}\to 1to1</math> ולכן הטור '''מתבדר'''.
===ג===
<math>\sum sum_{n=1}^\infty(-1)^n{\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\cdot \log^3(n)}^3}</math>
בערך מוחלט זה קטן מ- מ־<math>\sumsum_{n=1}^\frac1infty\frac{1}{n\cdot log^3(n)^3}</math> . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור <math>\sumsum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n(\log(2^n))^3}=\sum\frac1sum_{n=1}^3\cdot (infty\logfrac{1}{n^3\log(2)^3}</math> שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור '''מתכנס בהחלט'''.
==שאלה 3==
ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה
==שאלה 4==
זהה וסווג נקודות אי-רציפותאי־רציפות:
===א===
<math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math>
226
עריכות