שינויים

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

הוסרו 8 בתים, 11:59, 29 באוגוסט 2018
זהה וסווג נקודות אי־רציפות:
===א===
<math>(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)</math>
נקודות אי-הרציפות אי־הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר <math>0</math> ו- <math>,1</math>. ב- ב־<math>0^+</math> , <math>\frac1frac{1}{x^3-x^2}\to -\infty</math>. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. <math>x^2-1\to -1</math> ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- מ־<math>0</math> גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי החד־צדדי ולכן נקודת האי-רציפות אי־הרציפות <math>0</math> הנה '''ממין שני'''.
בנקודה <math>1</math> אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- ל־<math>0</math> כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- ל־<math>0</math> וזו נקודת אי-רציפות אי־רציפות סליקה.
===ב===
<math>f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor</math>
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- ל־<math>x</math> . אזי עבור <math>|x|<1</math> מתקיים <math>f(x)=0</math> ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור <math>1<|x|<2</math> מתקיים <math>f(x)=1</math> ולכן <math>x=\pm 1</math> הנן נקודות אי-רציפות אי־רציפות ממין ראשון (הגבול הוא <math>1</math> מצד אחד ו- ו־<math>0</math> מהצד השני). באופן דומה לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש<math>\pm n</math> הן נקודות אי-רציפות מ'''מין ראשון'''.
===ג===
<math>\tan\left(\frac1frac{1}{\log(x^2)}\right)</math>
ב- ב־<math>0</math> , ה- <math>\log</math> הולך ל- הלוגריתם שואף ל־<math>-\infty</math> ולכן <math>\frac1frac{1}{\log(x^2)}\to 0</math> ולכן הגבול כולו הוא <math>0</math> וזו נקודת אי-רציפות אי־רציפות '''סליקה'''.
ב- ב־<math>\pm 1pm1</math> הלוג הולך ל- הלוגריתם שואף ל־<math>0</math> ולכן מצד אחד <math>\frac1frac{1}{\log}</math> שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- <math>\tan</math> הטנגנס עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי החד־צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות אי־רציפות מ'''מין שני'''.
במקומות בהם <math>\frac1frac{1}{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k</math> הtan הטנגנס לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות אי־רציפות מ'''מין שני'''. נקודות אלה הן מהצורה <math>\sqrt{e^\frac1frac{1}{\frac{\pi}{2}+\pi k}}</math>
==שאלה 5==
===א===
<math>e^{-|\tan(x)|}</math> בקטע <math>\left(-\fractfrac{\pi}{2},\fractfrac{\pi}{2}\right)</math>
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע <math>|\tan(x)|\to\infty</math> ולכן סה"כ הגבולות הם <math>0</math> כלומר סופיים ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
<math>\log\big(2+\cos(x)\big)</math> בכל הממשיים.
<math>2+\cos(x)</math> רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע <math>[1,3]</math>. בקטע הזו <math>\log</math> רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה '''רציפה במ"ש'''.
===ג===
<math>\cos\big(\log(x)\big)</math> בקטע <math>(0,\infty)</math>
ניקח שתי סדרות ששואפות ל- ל־<math>0</math>, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת <math>1</math> ועל השניה <math>-1</math>, וזה יסתור רציפות במ"ש. <math>y_n=e^{-2\pi n-\pi}</math>, <math>x_n=e^{-2\pi n}</math>
==שאלה 6==
הוכח שאם קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L</math> אזי מתקיים <math>f'(x_0)=L</math> .
לפי הגדרה <math>f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\fracdfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}</math> . ברור שכי <math>\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0</math> ומכיון ש- ש־ <math>f</math> רציפה אזי גם <math>\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0</math> . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.
נגזור את המונה והמכנה לקבל <math>\frac{f'(x)}{1}\to L</math> ולכן קיבלנו את מה שרצינו.
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול <math>\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)</math>
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה <math>f(x)=\begin{cases}x^2\cdot\sin\left(\frac1{x}frac1x\right)</math>, כאשר אנחנו מגדירים <math>f(&:x\ne0\\0)&:x=0\end{cases}</math> . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- ל־ <math>0</math>, נוכיח שהיא גם גזירה ב- ב־<math>0</math> . :<math>f'(0)=\lim\limits_{x\to 0to0}\fracdfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac1{x}frac1x\right)=0</math>לכן ערך הנגזרת ב־<math>0</math> הוא <math>0</math>.מהו גבול הנגזרת ב־<math>x_0=0</math>?
לכן ערך הנגזרת ב- <math>0</math> הוא <math>0</math> . מהו גבול הנגזרת ב<math>x_0=0</math>? הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה לל־<math>2x\cdot\sin\left(\frac1{x}frac1x\right)-\cos\left(\frac1{x}frac1x\right)</math>. לכן גבולה ב- ב־<math>0</math> לא קיים (<math>0</math> ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.
==שאלה 8==
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- ב־<math>(-1,1)</math>, . הוכח/הפרך: <math>f'</math> חסומה על כל תת-קטע תת־קטע סגור של <math>(-1,1)</math> .
===הפרכה===
למעשה אנו '''חייבים''' נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה :<math>f(x)=\begin{cases}x^2\cdot\sin\left(\frac1frac{1}{x^2}\right)</math>, <math>f(&:x\ne0\\0)&:x=0\end{cases}</math>. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה <math>2x\cdot\sin\left(\frac1frac{1}{x^2}\right)-2\frac1{x}frac2x\cos\left(\frac1frac{1}{x^2}\right)</math>. נביט בסדרה השואפת לאפס <math>x_n=\frac1frac{1}{\sqrt{2\pi n}}</math> עליה מקבלים <math>f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to -\infty</math> ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור <math>[-0.5,0.5]</math> .
226
עריכות