88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'
תוכן עניינים
המבחן של פרופ' זלצמן
שאלה 1
תהי סדרה , ותהי קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: סגורה
הוכחה
על-מנת להוכיח ש- סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם היא נקודת הצטברות של אזי היא גם גבול חלקי של .
נניח נקודת הצטברות של , לכן לכל קיים גבול חלקי הקרוב ל- עד כדי , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל- עד כדי . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל עד כדי (המרחק בין גבול תת-הסדרה לבין ועוד מרחק בין איברי תת-הסדרה לגבול תת-הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי-הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק מ- ולכן היא ודאי מתכנסת ל- כפי שרצינו.
שאלה 2
בדוק התכנסות של הטורים הבאים:
א
נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:
ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.
קל לראות ש- מונוטונית באזור (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל- ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.
ב
קל לראות ש- ולכן הטור מתבדר.
ג
בערך מוחלט זה קטן מ- . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.
שאלה 3
ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה
שאלה 4
זהה וסווג נקודות אי-רציפות:
א
נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר ו- . ב- , . מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות הנה ממין שני.
בנקודה אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- וזו נקודת אי-רציפות סליקה.
ב
נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- . אזי עבור מתקיים ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור מתקיים ולכן הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא מצד אחד ו- מהצד השני). באופן דומה לכל טבעי מתקיים ש הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.
ג
ב- , ה- הולך ל- ולכן ולכן הגבול כולו הוא וזו נקודת אי-רציפות סליקה.
ב- הלוג הולך ל- ולכן מצד אחד שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות ממין שני.
במקומות בהם הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה
שאלה 5
האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?
א
בקטע
הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע ולכן סה"כ הגבולות הם כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ב
בכל הממשיים.
רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע . בקטע הזו רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.
ג
בקטע
ניקח שתי סדרות ששואפות ל- , אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת ועל השניה , וזה יסתור רציפות במ"ש. ,
שאלה 6
נגזרות
שאלה 7
תהי גזירה בקטע ותהי נקודה
א
הוכח שאם קיים הגבול אזי מתקיים .
לפי הגדרה . ברור ש ומכיון ש- רציפה אזי גם . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.
נגזור את המונה והמכנה לקבל ולכן קיבלנו את מה שרצינו.
ב
מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול
כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה , כאשר אנחנו מגדירים . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- , נוכיח שהיא גם גזירה ב- . .
לכן ערך הנגזרת ב- הוא . מהו גבול הנגזרת ב?
הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל. לכן גבולה ב- לא קיים ( ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.
שאלה 8
תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- , הוכח/הפרך: חסומה על כל תת-קטע סגור של .
הפרכה
למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה , . היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה . נביט בסדרה השואפת לאפס עליה מקבלים ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור .