88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה

הוכחה

על מנת להוכיח שE סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם r היא נקודת הצטברות של E אזי היא גם גבול חלקי של E.

נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל אפסילון גדול מאפס קיים גבול חלקי הקרוב לr עד כדי אפסילון, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור $\frac{1}{n}$ קיימת תת סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr עד כדי $\frac{1}{n}$. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr עד כדי עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \n לא מוכרת): 2\n

(המרחק בין גבול תת הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה לגבול תת הסדרה).

נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \n לא מוכרת): 2\n

מr ולכן היא וודאי מתכנסת לr כפי שרצינו.