שינויים
יצירת דף עם התוכן "=המבחן של פרופ' זלצמן= ==שאלה 1== תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגו..."
=המבחן של פרופ' זלצמן=
==שאלה 1==
תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה
===הוכחה===
על מנת להוכיח שE סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם r היא נקודת הצטברות של E אזי היא גם גבול חלקי של E.
נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל אפסילון גדול מאפס קיים גבול חלקי הקרוב לr עד כדי אפסילון, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור <math>\frac{1}{n}</math> קיימת תת סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr עד כדי <math>\frac{1}{n}</math>. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr עד כדי <math>2\n</math> (המרחק בין גבול תת הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה לגבול תת הסדרה).
נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>2\n</math> מr ולכן היא וודאי מתכנסת לr כפי שרצינו.
==שאלה 1==
תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה
===הוכחה===
על מנת להוכיח שE סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם r היא נקודת הצטברות של E אזי היא גם גבול חלקי של E.
נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל אפסילון גדול מאפס קיים גבול חלקי הקרוב לr עד כדי אפסילון, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת סדרה המתכנסת אליו.
לכן, עבור <math>\frac{1}{n}</math> קיימת תת סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr עד כדי <math>\frac{1}{n}</math>. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr עד כדי <math>2\n</math> (המרחק בין גבול תת הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה לגבול תת הסדרה).
נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק <math>2\n</math> מr ולכן היא וודאי מתכנסת לr כפי שרצינו.
