88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:36, 11 במרץ 2011 מאת ארז שיינר (שיחה | תרומות) (המבחן של פרופ' זלצמן)

קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

תהי סדרה a_n, ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה

הוכחה

על מנת להוכיח שE סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם r היא נקודת הצטברות של E אזי היא גם גבול חלקי של E.

נניח r נקודת הצטברות של E, לכן לכל אפסילון גדול מאפס קיים גבול חלקי הקרוב לr עד כדי אפסילון, ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור \frac{1}{n} קיימת תת סדרה המתכנסת למספר הקרוב לr עד כדי \frac{1}{n}. לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים לr עד כדי 2/n (המרחק בין גבול תת הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת הסדרה לגבול תת הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק 2/n מr ולכן היא וודאי מתכנסת לr כפי שרצינו.

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

\sum (-1)^n\tan{\frac{1}{n}}

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

\lim\frac{\tan\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\lim\frac{\sin{\frac{1}{n}}}{\frac{1}{n}\cos\frac{1}{n}}=1

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות שtan מונוטונית באיזור אפס (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן tan(0)=0 והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית לאפס ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.

ב

\sum (-1)^ne^{\frac{1}{logn}}

קל לראות ש e^{\frac{1}{logn}}\rightarrow 1 ולכן הטור מתבדר.

ג

\sum (-1)^n{\frac{cos(logn)}{n(logn)^3}}

בערך מוחלט זה קטן מ\sum\frac{1}{n(logn)^3}. זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור \sum\frac{2^n}{2^n(log(2^n))^3}=\sum\frac{1}{n^3(log2)^3} שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 3

ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה

שאלה 4

זהה וסווג נקודות אי רציפות:

א