88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

תהי סדרה $a_n$, ותהי $E$ קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: $E$ סגורה

הוכחה

על-מנת להוכיח ש- $E$ סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם $r$ היא נקודת הצטברות של $E$ אזי היא גם גבול חלקי של $E$ .

נניח $r$ נקודת הצטברות של $E$ , לכן לכל $\epsilon>0$ קיים גבול חלקי הקרוב ל- $r$ עד כדי $\epsilon$ , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור $\frac1{n}$ קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל- $r$ עד כדי $\frac1{n}$ . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל $r$ עד כדי $\frac2{n}$ (המרחק בין גבול תת-הסדרה לבין $r$ ועוד מרחק בין איברי תת-הסדרה לגבול תת-הסדרה). נבחר איברים כאלה מתתי-הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק $\frac2{n}$ מ- $r$ ולכן היא ודאי מתכנסת ל- $r$ כפי שרצינו. $\blacksquare$

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

$\sum (-1)^n\tan\left(\frac1{n}\right)$

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

$\lim\frac{\tan\left(\frac1{n}\right)}{\frac1{n}}=\lim\frac{\sin\left(\frac1{n}\right)}{\frac1{n}\cdot\cos\left(\frac1{n}\right)}=1$

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות ש- $\tan$ מונוטונית באזור $0$ (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן $\tan(0)=0$ והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל- $0$ ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.

ב

$\sum (-1)^n\cdot e^\frac1{\log(n)}$

קל לראות ש- $e^\frac1{\log(n)}\to 1$ ולכן הטור מתבדר.

ג

$\sum (-1)^n{\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\cdot \log^3(n)}}$

בערך מוחלט זה קטן מ- $\sum\frac1{n\cdot log^3(n)}$ . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור $\sum\frac{2^n}{2^n(\log(2^n))^3}=\sum\frac1{n^3\cdot (\log^3(2)}$ שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 3

ציטוט משפטים - תשובות במחברת ההרצאה

שאלה 4

זהה וסווג נקודות אי-רציפות:

א

$(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)$

נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר $0$ ו- $1$. ב- $0^+$ , $\frac1{x^3-x^2}\to -\infty$. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. $x^2-1\to -1$ ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- $0$ גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות $0$ הנה ממין שני.

בנקודה $1$ אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- $0$ כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- $0$ וזו נקודת אי-רציפות סליקה.

ב

$f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor$

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- $x$ . אזי עבור $|x|<1$ מתקיים $f(x)=0$ ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור $1<|x|<2$ מתקיים $f(x)=1$ ולכן $x=\pm 1$ הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא $1$ מצד אחד ו- $0$ מהצד השני). באופן דומה לכל $n$ טבעי מתקיים ש$\pm n$ הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.

ג

$\tan\left(\frac1{\log(x^2)}\right)$

ב- $0$ , ה- $\log$ הולך ל- $-\infty$ ולכן $\frac1{\log(x^2)}\to 0$ ולכן הגבול כולו הוא $0$ וזו נקודת אי-רציפות סליקה.

ב- $\pm 1$ הלוג הולך ל- $0$ ולכן מצד אחד $\frac1{\log}$ שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- $\tan$ עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות ממין שני.

במקומות בהם $\frac1{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k$ הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה $\sqrt{e^\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi k}}$

שאלה 5

האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?

א

$e^{-|\tan(x)|}$ בקטע $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע $|\tan(x)|\to\infty$ ולכן סה"כ הגבולות הם $0$ כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

$\log\big(2+\cos(x)\big)$ בכל הממשיים.

$2+\cos(x)$ רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע $[1,3]$. בקטע הזו $\log$ רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ג

$\cos\big(\log(x)\big)$ בקטע $(0,\infty)$

ניקח שתי סדרות ששואפות ל- $0$, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת $1$ ועל השניה $-1$, וזה יסתור רציפות במ"ש. $y_n=e^{-2\pi n-\pi}$, $x_n=e^{-2\pi n}$

שאלה 6

נגזרות

שאלה 7

תהי $f$ גזירה בקטע $(a,b)$ ותהי נקודה $x_0\in (a,b)$

א

הוכח שאם קיים הגבול $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L$ אזי מתקיים $f'(x_0)=L$ .

לפי הגדרה $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ . ברור ש$\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0$ ומכיון ש- $f$ רציפה אזי גם $\lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0$ . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל $\frac{f'(x)}{1}\to L$ ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

ב

מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)$, כאשר אנחנו מגדירים $f(0)=0$ . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- $0$, נוכיח שהיא גם גזירה ב- $0$ . $f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)=0$.

לכן ערך הנגזרת ב- $0$ הוא $0$ . מהו גבול הנגזרת ב$x_0=0$?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל$2x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)-\cos\left(\frac1{x}\right)$. לכן גבולה ב- $0$ לא קיים ($0$ ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

שאלה 8

תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- $(-1,1)$, הוכח/הפרך: $f'$ חסומה על כל תת-קטע סגור של $(-1,1)$ .

הפרכה

למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה $f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)$, $f(0)=0$. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה $2x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)-2\frac1{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right)$. נביט בסדרה השואפת לאפס $x_n=\frac1{\sqrt{2\pi n}}$ עליה מקבלים $f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to -\infty$ ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור $[-0.5,0.5]$ .