88-132 סמסטר א' תשעא/ פתרון מועד ב'

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המבחן של פרופ' זלצמן

שאלה 1

תהי סדרה a_n , ותהי E קבוצות הגבולות החלקיים שלה. הוכח/הפרך: E סגורה

הוכחה

על־מנת להוכיח כי E סגורה, יש להוכיח שהיא מכילה את כל נקודות ההצטברות שלה. כלומר, אם r היא נקודת הצטברות של E אזי היא גם גבול חלקי של E .

נניח r נקודת הצטברות של E , לכן לכל \varepsilon>0 קיים גבול חלקי הקרוב ל־r עד כדי \varepsilon , ולכל גבול חלקי כזה קיימת תת-סדרה המתכנסת אליו.

לכן, עבור \frac1n קיימת תת-סדרה המתכנסת למספר הקרוב ל־r עד כדי \frac1n . לכן קיים בסדרה הזו מקום אשר החל ממנו והלאה כל האיברים קרובים ל־r עד כדי \frac2n (המרחק בין גבול תת־הסדרה לבין r ועוד מרחק בין איברי תת־הסדרה לגבול תת־הסדרה). נבחר איברים כאלה מתת־הסדרות, ובלבד שכל איבר יהיה אחרי האיבר הקודם. כך בנינו סדרה שאיבריה קרובים מרחק \frac2n מ־r ולכן היא ודאי מתכנסת ל־r כפי שרצינו. \blacksquare

שאלה 2

בדוק התכנסות של הטורים הבאים:

א

\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\tan\left(\frac1n\right)

נבדוק התכנסות בהחלט, נוכיח שהטור חבר של הטור ההרמוני:

\lim_{n\to\infty}\frac{\tan\left(\frac1n\right)}{\frac1n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\left(\frac1n\right)}{\frac1n\cdot\cos\left(\frac1n\right)}=1

ולכן הוא אינו מתכנס בהחלט.

קל לראות כי \tan מונוטונית באזור 0 (נגזרתה חיובית בלבד), וכמו כן \tan(0)=0 והיא רציפה שם ולכן סה"כ יש לנו סדרה המתכנסת מונוטונית ל־0 ולפי משפט לייבניץ הטור כולו מתכנס בתנאי.

ב

\sum_{n=1}^\infty(-1)^ne^\frac{1}{\log(n)}

קל לראות כי e^\frac{1}{\log(n)}\to1 ולכן הטור מתבדר.

ג

\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{\cos\big(\log(n)\big)}{n\log(n)^3}

בערך מוחלט זה קטן מ־\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\log(n)^3} . זו סדרה מונוטונית יורדת ולכן ניתן להפעיל את מבחן העיבוי לקבל את הטור \sum_{n=1}^\infty\frac{2^n}{2^n\log(2^n)^3}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\log(2)^3} שהוא כמובן מתכנס, ולכן כל הטור מתכנס בהחלט.

שאלה 3

ציטוט משפטים – תשובות במחברת ההרצאה

שאלה 4

זהה וסווג נקודות אי־רציפות:

א

(x^2-1)\cdot\sin\left(\frac1{x^3-x^2}\right)

נקודות אי-הרציפות הן כאשר המכנה מתאפס, כלומר 0 ו- 1. ב- 0^+ , \frac1{x^3-x^2}\to -\infty. מכיון שזו פונקציה רציפה ששואפת לאינסוף, הסינוס מקבל עליה אינסוף מחזורים ולכן אין לו גבול. x^2-1\to -1 ולכן סה"כ יש לנו פונקציה עם גבול סופי שונה מ- 0 גבול פונקציה ללא גבול ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן נקודת האי-רציפות 0 הנה ממין שני.

בנקודה 1 אנחנו מקבלים פונקציה ששואפת ל- 0 כפול חסומה' ולכן סה"כ יש שאיפה ל- 0 וזו נקודת אי-רציפות סליקה.

ב

f(x)=\big\lfloor|x|\big\rfloor

נניח ש[x] הוא המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה ל- x . אזי עבור |x|<1 מתקיים f(x)=0 ולכן שם הפונקציה רציפה. עבור 1<|x|<2 מתקיים f(x)=1 ולכן x=\pm 1 הנן נקודות אי-רציפות ממין ראשון (הגבול הוא 1 מצד אחד ו- 0 מהצד השני). באופן דומה לכל n טבעי מתקיים ש\pm n הן נקודות אי-רציפות ממין ראשון.

ג

\tan\left(\frac1{\log(x^2)}\right)

ב- 0 , ה- \log הולך ל- -\infty ולכן \frac1{\log(x^2)}\to 0 ולכן הגבול כולו הוא 0 וזו נקודת אי-רציפות סליקה.

ב- \pm 1 הלוג הולך ל- 0 ולכן מצד אחד \frac1{\log} שואף לאינסוף באופן רציף, ולכן ה- \tan עושה אינסוף מחזורים ולכן לא קיים הגבול החד-צדדי ולכן אלה נקודות אי-רציפות ממין שני.

במקומות בהם \frac1{\log(x^2)}=\frac{\pi}{2}+\pi k הtan לא מוגדר ושואף לאינסוף ולכן אלו נקודות אי-רציפות ממין שני. נקודות אלה הן מהצורה \sqrt{e^\frac1{\frac{\pi}{2}+\pi k}}

שאלה 5

האם הפונקציות הבאות רציפות במ"ש בקטעים הנתונים?

א

e^{-|\tan(x)|} בקטע \left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)

הפונקציה רציפה בכל הקטע ובקצות הקטע |\tan(x)|\to\infty ולכן סה"כ הגבולות הם 0 כלומר סופיים ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ב

\log\big(2+\cos(x)\big) בכל הממשיים.

2+\cos(x) רציפה במ"ש בכל הממשיים, ומקבלת ערכים בקטע [1,3]. בקטע הזו \log רציפה במ"ש ולכן סה"כ יש לנו הרכבה של רציפות במ"ש ולכן הפונקציה רציפה במ"ש.

ג

\cos\big(\log(x)\big) בקטע (0,\infty)

ניקח שתי סדרות ששואפות ל- 0, אבל הפונקציה עליהן תהיה קבועה. על האחת 1 ועל השניה -1, וזה יסתור רציפות במ"ש. y_n=e^{-2\pi n-\pi}, x_n=e^{-2\pi n}

שאלה 6

נגזרות

שאלה 7

תהי f גזירה בקטע (a,b) ותהי נקודה x_0\in (a,b)

א

הוכח שאם קיים הגבול \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=L אזי מתקיים f'(x_0)=L .

לפי הגדרה f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} . ברור ש\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0 ומכיון ש- f רציפה אזי גם \lim\limits_{x\to x_0}\big[f(x)-f(x_0)\big]=0 . לכן אם יש גבול לנגזרת של המונה חלקי הנגזרת של המכנה אז הוא שווה לגבול המקורי לפי לופיטל.

נגזור את המונה והמכנה לקבל \frac{f'(x)}{1}\to L ולכן קיבלנו את מה שרצינו.

ב

מצא פונקציה כנ"ל כך שלא קיים הגבול \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)

כפי שראינו בכיתה, נשתמש בפונקציה f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x}\right), כאשר אנחנו מגדירים f(0)=0 . ברור שהיא גזירה בכל מקום פרט ל- 0, נוכיח שהיא גם גזירה ב- 0 . f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)=0.

לכן ערך הנגזרת ב- 0 הוא 0 . מהו גבול הנגזרת בx_0=0?

הנגזרת בנקודות השונות מאפס שווה ל2x\cdot\sin\left(\frac1{x}\right)-\cos\left(\frac1{x}\right). לכן גבולה ב- 0 לא קיים (0 ועוד משהו לא קיים) כפי שרצינו.

שאלה 8

תהי פונקציה גזירה ורציפה במ"ש ב- (-1,1), הוכח/הפרך: f' חסומה על כל תת-קטע סגור של (-1,1) .

הפרכה

למעשה אנו חייבים נגזרת שאינה רציפה כמו בשאלה 7 סעיף ב', אחרת פונקציה רציפה על קטע סגור חסומה בו. נביט בפונקציה f(x)=x^2\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right), f(0)=0. היא גזירה כמו שראינו בשאלה קודמת. הנגזרת הנה 2x\cdot\sin\left(\frac1{x^2}\right)-2\frac1{x}\cos\left(\frac1{x^2}\right). נביט בסדרה השואפת לאפס x_n=\frac1{\sqrt{2\pi n}} עליה מקבלים f'(x_n)=-2\sqrt{2\pi n}\to -\infty ולכן הנגזרת אינה חסומה בקטע הסגור [-0.5,0.5] .