88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 5 (18/3/12)

• חזרה להרצאות

הרצאות 5+6+7 (18+20+25/3/12)

הפעם אין צורך שאני יעלה את ההרצאות במלואן כי מצאתי את החומר באתר, אבל בשביל הנוחות אתן קישורים:

חלקים 1-3 : האינטגרל לפי דרבו

חלק 1

חלק 2

חלק 3 חלקים 3-4 : האינטגרל לפי רימן

משפט 1: יהיו $g(x),f(x)$ מוגדרות ואינטגרביליות ב- $[a,b]$ ו- $c \in \mathbb{R}$ קבוע. אז הפונקציות $f \pm g$ אינטגרביליות ב- $[a,b]$ ומתקיים:

1) $\int_{a}^{b}\left [ f(x) \pm g(x) \right ]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx \pm \int_{a}^{b}g(x)dx$

2) $\int_{a}^{b}cf(x)dx=c\int_{a}^{b}f(x)dx$

3) אם $f(x)\leq g(x)$ אז $\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx$

4) $\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x) \right |dx$

5) אם $\left |f(x) \right |\leq M$ ב- $[a,b]$ מתקיים: $\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq M(b-a)$

6) $\int_{a}^{b}cdx=c(b-a)$

משפט 2 (המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי- משפט ניוטון-לייבניץ): תהי $f(x)$ מוגדרת חסימה ואינטגרבילית בקטע $[a,b]$. נגדיר: $\forall x \in [a,b]: A(x):= \int_{a}^{x} f(t)dt$.אזי:

א) $A(x)$ רציפה ב- $[a,b]$.

ב) אם $f(x_{0})$ רציפה עבור $x_{0}$, אזי $A(x)$ גזירה שם ומתקיים $A'(x_{0})=f(x_{0})$.

ג) אם $f(x)$ רציפה בכל $[a,b]$, ו-F פונקציה קדומה ל-f,אז מתקיימת נוסחת ניוטון לייבניץ: $\int_{a}^{b} f(x)dx=F(b)-F(a)$.

הוכחה(לב זלוטניק)

משפט 3 אינטגרל מסויים בחלקים: $\int_{a}^{b} f(x)g'(x)dx=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} f'(x)g(x)dx$

את ההוכחות אני יעלה במועד מאוחר יותר!

למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer)