הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/פתרון מועד א"
(←6 במבחן של אגרונובסקי) |
(←6 במבחן של אגרונובסקי) |
||
שורה 139: | שורה 139: | ||
*תהי a נקודה מסויימת. נבחר M כך ש <math>\int_M^\infty x^{a+1}e^{-x}dx < \frac{\epsilon}{2}</math> | *תהי a נקודה מסויימת. נבחר M כך ש <math>\int_M^\infty x^{a+1}e^{-x}dx < \frac{\epsilon}{2}</math> | ||
− | *כעת עבור <math>\Delta a</math> קטן מספיק, <math>F(a+\Delta a) | + | *כעת עבור <math>\Delta a</math> קטן מספיק, <math>F(a+\Delta a)\leq\int_1^Mx^{a+\Delta a}e^{-x}dx + \frac{\epsilon}{2}\leq M^{\Delta a}F(a) + \frac{\epsilon}{2}\leq F(a) + \epsilon </math> |
+ | |||
+ | |||
+ | כפי שרצינו... | ||
==6 במבחן של שיין והורוביץ== | ==6 במבחן של שיין והורוביץ== |
גרסה מ־02:34, 22 ביולי 2012
תוכן עניינים
1
שאלת הוכחה מההרצאה
2
חשבו את האינטגרלים הבאים:
א
פתרון:
נבצע הצבה אוניברסאלית לקבל
ב
נבצע אינטגרציה בחלקים לקבל
ג
ניתן לבצע את האלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית
או ההצבה באופן הבא:
3
א
קבעו האם האינטגרל הבא מתכנס או מתבדר:
פתרון:
כיוון ש
וכיוון ש מתבדר
שני האינטגרלים חברים ומתבדרים יחדיו.
ב
הוכיחו שאם פולינום שאינו שווה זהותית לאפס, אזי האינטגרל מתבדר.
פתרון:
אם הפולינום אינו זהותית אפס, האינטגרל הלא מסויים שלו בעל מעלה גדולה או שווה לאחד. ולכן
האחרון מתבדר כיוון שהמעלה של q גדולה או שווה לאחד.
4
מצאו את טור מקלורין של הפונקציה וקבעו את רדיוס ההתכנסות של הטור.
פתרון:
ראשית, נשים לב כי .
שנית, נזכר או נפתח את הטור
וביחד נקבל
קל לחשב רדיוס התכנסות של טור זה ולהראות שהוא אינסוף.
5
נגדיר סדרת פונקציות
א
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות שבקטע זה גבול הסדרה הוא הפונקציה ששווה זהותית אפס, ולכן יש לחשב את הגבול:
נגזור על מנת למצוא את המקסימום:
הנגזרת מתאפסת באפס, לכן המקסימום הוא בקצוות
,
ולכן
ולכן הסדרה מתכנסת במ"ש.
ב
קבעו אם הסדרה מתכנסת במ"ש בקטע
פתרון:
קל לראות כי פונקצית הגבול בנקודה 1 היא חצי, לכל נקודה גדולה מ1 היא 1 ולכל נקודה קטנה מאחד היא אפס. לכן פונקצית הגבול אינה רציפה, ולכן ההתכנסות אינה במ"ש (שכן התכנסות במ"ש של פונקציות רציפות היא רציפה).
6 במבחן של אגרונובסקי
הוכח כי הפונקציה רציפה בכל הממשיים
פתרון:
- לפי מבחן השוואה גבולי, קל לראות שכיוון שהאינטגרל מתכנס, כך גם האינטגרל לכל אלפא.
- כמו כן קל לוודא כי הפונקציה מונוטונית. (זה לבד מוכיח רציפות פרט למספר בן מנייה של נקודות...)
- תהי a נקודה מסויימת. נבחר M כך ש
- כעת עבור קטן מספיק,
כפי שרצינו...
6 במבחן של שיין והורוביץ
(לקוח ממערכי התרגול של אור שחף) נתון שקיים כך ש- לכל . הוכיחו בעלת השתנות חסומה בקטע.
פתרון
- מתקיים ולכן