88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 1/פתרון

שאלה 1

השאלה לקוחה מתרגיל בית שהיה שנה שעברה, ולכן תוכלו למצוא את הפתרון כאן: הפתרון

שאלה 2

תסתכלו כאן: שאלה 1

הפרכה לשני הסעיפים גם יחד:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x^{2}+1 & x\in (1,2] \\ x^{2} & x\in [0,1] \end{matrix}\right.$

קל לראות שבכל חלק לפונקציה יש קדומה, אבל לפונקציה כשלעצמה אין - כי היא לא מקיימת תנאי ערך ביניים שמתקיים בכל נגזרת.

משפט דראבו (הוכחה): הוכחה בחסות Math-Wiki

שאלה 3

תסתכלו כאן: שאלה 2

שאלה 4

תסתכלו כאן: שאלה 3

נוסחא רקורסיבית מורכבת מבסיס ומנוסחאת מעבר ממקרה מסויים למקרה פשוט יותר.

במקרה זה הבסיס הינו $m=0$ וזהו מקרה פשוט במיוחד:

$I_{0}=\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}$

צעד הרקורסיה:

ניעזר באינטגרציה בחלקים, באופן הבא:

$du=x^{\alpha}dx \Rightarrow u=I_{0}$

$v=ln^{m}x\Rightarrow dv=\frac{mln^{m-1}x}{x}dx$

ולכן מתקיים:

$I_{m}=\int x^{\alpha}ln^{m}xdx=I_{0}ln^{m}x-\int \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\cdot \frac{mln^{m-1}x}{x}dx=$

$I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}\int x^{\alpha}ln^{m-1}xdx=I_{0}ln^{m}x-\frac{m}{\alpha+1}I_{m-1}$

ומצאנו את הנוסחא המתבקשת.

שאלה 5

כל האינטגרלים בשאלה לקוחים מתרגילי בית משנים קודמות, לכן לצד כל לינק, נרשום את הסעיפים מהשאלה המקורית (מהתרגיל שלנו) שהפתרונות מופיעים בהם:

תרגיל מס' 3: הסעיפים ו' וז'

תרגיל מס' 4: הסעיפים א', ב', ג', ד', ה'

תרגיל מס' 5: הסעיפים ח', ט' וי' (האחרונים יחד).