הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/תרגילים/תרגיל 5/פתרון"
(יצירת דף עם התוכן "== 1. == ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה. ===א=== מופיע ב[http://math-wiki.com/images/0/0c...") |
(←ד) |
||
שורה 52: | שורה 52: | ||
<math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>. | <math>f'_{n}(x)=arctan(nx)+\frac{nx}{1+(nx)^{2}}</math>, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע <math>[1, \infty)</math>. | ||
+ | |||
+ | מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup. | ||
+ | |||
+ | מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית. |
גרסה מ־09:08, 17 ביוני 2012
1.
ברמת העיקרון חלקים מהשאלה הופיעו בתרגיל 10 משנה שעברה.
א
מופיע בתרגיל הבית
ב
קל להבחין כי לכל x בתחום מתקיים: . (חסומה כפול 0)
נראה שההתכנסות הינה במ"ש באמצעות מבחן הlimsup:
ולכן סדרת הפונקציות מתכנסת במ"ש ל0.
ג
לכן סדרת הפונקציות מתכנסת ל.
נראה שההתכנסות אינה במ"ש. נניח בשלילה ששהתכנסות במ"ש, אז מכיוון שמדובר בסדרה של פונקציות אינטגרביליות אמור להתקיים:
כאשר , ואפילו במ"ש.
אולם מתקיים,
ולכן מתקבלת סתירה להנחה שההתכנסות הינה במ"ש.
ד
מופיע בתרגיל הבית.
דרך אלטרנטיבית:
ראשית, נבדוק את ההתכנסות הנקודתית: .
על מנת להוכיח את ההתכנסות במידה שווה, נפצל את הבדיקה לשני קטעים: .
בקטע הסגור, נוכל להפעיל את משפט דיני (בדקו שכל התנאים אכן מתקיימים!).
בקטע הפתוח שנותר, נביט בסדרת הנגזרות ונוכיח שהיא מתכנסת במ"ש.
, מספיק נשראה שכל אחד מהמחוברים מתכנס במ"ש בקטע .
מכאן, מראים שהפוקנציות מונוטוניות יורדות בקטע ואז משתמשים במבחן הlimsup.
מתקיימים כל התנאים כדי שההתכנסות במ"ש הזו, תגרור את ההתכנסות במ"ש של הסדרה המקורית.