88-133 תשעד סמסטר ב מדמח/מבחן דמה

1

א

חשבו את האינטגרל

$f(x)=\int_0^x{arctan(t)dt}$

ב

חשבו את הגבול

$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$

2

תהי f פונקציה מונוטונית בעלת נגזרת רציפה בקטע [0,1]

הוכיחו או הפריכו:

$f'(0)+f'(\frac{1}{3}) + f'(\frac{2}{3})\leq 3f(1)-3f(0)$

3

א

מצאו כמה פתרונות יש למשוואה

$e^{sin(2x)}=sin(x)cos(x)$

ב

מצאו כמה פתרונות אי שליליים יש למשוואה

$e^x=cos(x)$

4

מצאו לאילו ערכי $\alpha$ האינטגרל הבא מתכנס

$\int_0^\infty{\frac{1-e^{-x}}{x^\alpha}dx}$

5

חשבו את האינטרגל

$\int{\frac{x+1+\int_{-x}^x{tsin(cos(t))dt}}{x^2+2x+3}dx}$

6

א

חשבו את סכום הטור

$\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n2^n}$

ב

תהי f פונקציה רציפה ואי שלילית עבורה האינטגרל

$\int_1^\infty f(x)dx$

מתכנס.

הוכיחו/הפריכו:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

7

קבעו את תחום ההתכנסות של סדרת הפונקציות

$f_n(x)=\frac{arctan(nx)}{n}$

האם הסדרה מתכנסת במ״ש בתחום זה?

8

מצאו את הערך המינימלי והערך המקסימלי של הפונקציה

$f(x,y)=x^2+y$

בחצי העליון של עיגול היחידה $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq 1\wedge y\geq 0\}$