=== הרצאה אחת-עשרה ===
הכנה לרציףכדי לעבור ממשתנים מקריים בדידים לרציפים, עלינו להכליל את מושג מרחב ההסתברות. בעבר טיפלנו במרחבים סופיים או בני-מניה, ואז הגדרנו את ההסתברות של כל נקודה, וממנה יכולנו לחשב את ההסתברות של כל תת-קבוצה. במעבר למקרה הכללי מתברר שהגישה הזו מוכרחה להכשל: אי אפשר לסכם מספר שאינו בן-מניה של ערכים (ולקוות לתוצאה סופית), וגם אי אפשר להגדיר הסתברות בבת-אחת על כל תת-הקבוצות (אפילו של קטע היחידה). את הפתרון האקסיומטי מצא קולמוגורוב. ראשית, '''סיגמא-אלגברה''' על מרחב <math>\ \Omega</math> מוגדרת כמשפחה של תת-קבוצות, הכוללת את המרחב כולו כאיבר, וסגורה למשלים וללקיחת איחוד בן-מניה. (סגירות לאיחוד סופי אינה מספיקה, וסגירות לאיחוד כלשהו - לאו דווקא בן-מניה - היא דרישה חזקה מדי המקלקלת את כל הדוגמאות המעניינות). '''מרחב הסתברות''' הוא שלשה סדורה, שבה הרכיב הראשון הוא המרחב, השני הוא סיגמא-אלגברה (אבריה נקראים "מאורעות"), והשלישי הוא פונקציית הסתברות, שהיא פונקציה המתאימה מספר חיובי לכל מאורע, ומקיימת שני תנאים: ההסתברות של המרחב כולו היא 1, ואם <math>\ A_1,\dots</math> סדרת מאורעות זרים, אז <math>\ P(\cup A_n) = \sum P(A_n)</math>. החסרון בגישה זו הוא שכאשר הסיגמא-אלגברה אינה כוללת את כל תת-הקבוצות (וכך יהיה בדרך כלל), יהיו קבוצות שלא ניתן לדבר על ההסתברות שלהן. מתברר שהשד הזה אינו נורא כל-כך. המרחב החשוב ביותר מבחינתנו הוא הישר הממשי, ולכן אנו ניגשים להגדיר סיגמא-אלגברה מסויימת עליו, הנקראת "הסיגמא-אלגברה של בורל". זוהי הסיגמא-אלגברה הקטנה ביותר הכוללת את כל הקרניים <math>\ (-\infty,a]</math>. מתברר שהיא כוללת את הקרניים מכל הסוגים, את הקטעים הפתוחים מכל הסוגים, נקודות, סדרות של נקודות, קבוצות כמו <math>\ \cdot (-3,-2) \cup (-1,0) \cup (1,2) \cup \cdot</math>, ועוד ועוד. עם הסיגמא-אלגברה הזו, נוכל לחשב את ההסתברות של מאורעות כמו <math>\ X\leq a</math> (ולכן גם מאורעות כמו <math>\ a<X<b</math> וכדומה) לכל משתנה מקרי X.
