שינויים
המרחב החשוב ביותר מבחינתנו הוא הישר הממשי, ולכן אנו ניגשים להגדיר סיגמא-אלגברה מסויימת עליו, הנקראת "הסיגמא-אלגברה של בורל". זוהי הסיגמא-אלגברה הקטנה ביותר הכוללת את כל הקרניים <math>\ (-\infty,a]</math>. מתברר שהיא כוללת את הקרניים מכל הסוגים, את הקטעים הפתוחים מכל הסוגים, נקודות, סדרות של נקודות, קבוצות כמו <math>\ \cdots (-3,-2) \cup (-1,0) \cup (1,2) \cup \cdots</math>, ועוד ועוד. עם הסיגמא-אלגברה הזו, נוכל לחשב את ההסתברות של מאורעות כמו <math>\ X\leq a</math> (ולכן גם מאורעות כמו <math>\ a<X<b</math> וכדומה) לכל משתנה מקרי X.
=== הרצאה שתים-עשרה ===
לכל משתנה מקרי אפשר להגדיר את פונקציית ההצטברות <math>\ F_X(t) = P(X\leq t)</math>. זוהי פונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), שואפת לאפס במינוס אינסוף ולאחד באינסוף, ורציפה מימין. גם בכיוון ההפוך, כל פונקציה כזו מאפשרת להגדיר משתנה מקרי על-פי ההסתברויות שלו ליפול בקטעים או בקרניים. באופן מעשי, פונקציית ההצטברות נותנת תאור מלא של המשתנה.
קבוצת נקודות אי-הרציפות של פונקציית הצטברות היא (לכל היותר) בת מניה. פונקציית ההצטברות של משתנה היא רציפה אם ורק אם ההסתברות למאורעות הנקודתיים X=a היא תמיד אפס.
קבוצת נקודות אי-הגזירות היא תמיד בעלת "מידה אפס", אבל היא עלולה שלא להיות בת-מניה. כאשר הפונקציה גזירה, הנגזרת שלה היא '''פונקציית צפיפות''': פונקציה חיובית שהאינטגרל הכולל שלה הוא <math>\ \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t) dt = 1</math>. בכיוון ההפוך, פונקציית צפיפות מגדירה פונקציית הצטברות לפי הנוסחה <math>\ F_X(x) = \int_{-\infty}^x f(t)dt</math>.
פונקציית הצפיפות מאפשרת לחשב בקלות את ה'''תוחלת''' של משתנה מקרי רציף: <math>\ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(t)tdt</math>. באופן כללי יותר, לכל פונקציה (מדידה) g התוחלת של המשתנה המקרי <math>\ g(X)</math> היא <math>\ E(g(X)) = \int f_X(t)g(t)dt</math>.
השונות מוגדרת כרגיל, לפי <math>\ V(X) = E(X^2)- E(X)^2 = E((X-E(X))^2)</math>.
=== הרצאה שלוש-עשרה ===
דוגמאות להתפלגויות רציפות חשובות: (1) ההתפלגות האחידה, שבה הצפיפות של כל הנקודות בקטע (a,b) היא <math>\ \frac{1}{b-a}</math>.
(2) ההתפלגות המעריכית, עבור פרמטר חיובי <math> \lambda</math>, שבה פונקציית הצפיפות היא <math>\ f_X(t) = \frac{1}{\lambda}e^{-t/\lambda}</math>. זוהי ההתפלגות הרציפה היחידה שאין לה זכרון: למשתנה מעריכי X יש אותה התפלגות כמו למשתנה X-a בהנתן X>a.
'''תרגיל'''. המינימום של כמה משתנים מעריכיים בלתי תלויים מתפלג מעריכית.
=== הרצאה ארבע-עשרה ===
במקרה הבדיד, את ההתפלגות של משתנה יחיד מתארים בעזרת רשימת הסתברויות, ואת ההתפלגות המשותפת של זוג משתנים בעזרת טבלה דו-ממדית. בדומה לזה, במקרה הרציף מתארים את ההתפלגות של משתנה יחיד באמצעות פונקציית צפיפות (חד-ממדית), ואת ההתפלגות המשותפת של זוג משתנים X,Y באמצעות פונקציית צפיפות דו-ממדית שתכונתה היא <math>\ \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y) dydx=1</math>.
התפלגות זוג המשתנים מוגדרת לפי הנוסחה <math>\ P(a<X<b,\,c<Y<d) = \int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f_{X,Y}(x,y) dydx</math>.
מן ההתפלגות המשותפת אפשר לשחזר את ההתפלגות של כל משתנה בנפרד: <math>\ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{X,Y}(x,y) dy</math>, ובדומה לזה עבור Y. התפלגויות אלו נקראות '''צפיפות שולית'''. אומרים שהמשתנים בלתי-תלויים אם הצפיפות המשותפת שלהם היא מכפלת שתי הצפיפויות השוליות.
אם נתונה הצפיפות של משתנה X, אפשר לעבור ממנה לצפיפות של <math>\ Y = g(X)</math> לפי החוק <math>\ f_Y(y) = f_X(x)|g'(x)|^{-1}</math>, כאשר <math>\ y = g(x)</math>. בדומה לזה אם נתונה הצפיפות של זוג משתנים X,Y, אפשר לעבור ממנה לצפיפות המשותפת של הזוג <math>\ (U,V) = g(X,Y)</math> על-ידי חילוק ביעקוביאן של g, שהוא הדטרמיננטה של מטריצת הנגזרות החלקיות של U,V לפי X ולפי Y.
