שינויים
/* הרצאה ארבע-עשרה */
אם נתונה הצפיפות של משתנה X, אפשר לעבור ממנה לצפיפות של <math>\ Y = g(X)</math> לפי החוק <math>\ f_Y(y) = f_X(x)|g'(x)|^{-1}</math>, כאשר <math>\ y = g(x)</math>. בדומה לזה אם נתונה הצפיפות של זוג משתנים X,Y, אפשר לעבור ממנה לצפיפות המשותפת של הזוג <math>\ (U,V) = g(X,Y)</math> על-ידי חילוק ביעקוביאן של g, שהוא הדטרמיננטה של מטריצת הנגזרות החלקיות של U,V לפי X ולפי Y.
=== הרצאה חמש-עשרה ===
בעזרת הנוסחה לטרנספורמציה של זוג משתנים ראינו ש-<math>\ \int_{-\infty}{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}dt = 1</math>, וזה מאפשר להגדיר את המשתנה שצפיפותו <math>\ f_Z(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}</math>, ולקרוא לו '''משתנה נורמלי סטנדרטי''', <math>\ Z \sim N(0,1)</math>. להתפלגות של <math>\ X = \mu+\sigma Z</math> קוראים התפלגות נורמלית, ומסמנים <math>\ X \sim N(\mu,\sigma^2)</math>
למשפחת ההתפלגויות הנורמליות תכונות מיוחדות רבות. למשל, כל צירוף לינארי של משתנים נורמליים בלתי תלויים הוא נורמלי.
הגדרנו בעזרת ההתפלגות הנורמלית כמה התפלגויות חשובות נוספות, שנפגוש שוב בפרק הסטטיסטי: התפלגות חי-בריבוע, התפלגות t, התפלגות F.
=== הרצאה שש-עשרה ===
הוכחנו שני חסמים אוניברסליים על התפלגויות: '''חסם מרקוב''' -- לכל משתנה מקרי חיובי X מתקיים <math>\ P(X \geq a \mu) \leq \frac{1}{a}</math> לכל a, כאשר <math>\ \mu = E(X)</math>. '''חסם צ'ביצ'ב''' -- לכל משתנה מקרי X מתקיים <math>\ P(|X-\mu|\geq k \sigma) \leq \frac{1}{k^2}</math>, כאשר <math>\ \mu = E(X)</math> ו- <math>\ \sigma^2 = V(X)</math>.
ה'''מומנטים''' של משתנה מקרי X הם התוחלות <math>\ E(X^n)</math>. אפשר לאסוף את כל המומנטים כמקדמים של טור חזקות, ולקבל את הפונקציה יוצרת המומנטים של X, <math>\ M_X(t) = E(e^{tX})</math>. לדוגמא, חישבנו שהפונקציה יוצרת המומנטים של ההתפלגות המעריכית היא <math>\ M_X(t) = \frac{1}{1-\lambda t}</math>, וראינו שאפשר להסיק מכאן את כל המומנטים, <math>\ E(X^n) = n!\lambda^n</math>.
להתפלגות הנורמלית הסטנדרטית יש פונקציה יוצרת מומנטים <math>\ M_Z(t) = e^{t^2/2}</math>. גם כאן אפשר לקבל את המומנטים בקלות: <math>\ E(Z^4) = 3, E(Z^6) = 15, E(Z^8) = 105</math>.
