בכיוון שני: יהא <math>x\in \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B)</math> ולכן <math>\exist i\in I :x\in A_i\cap B</math> לכן <math>x\in B</math>
וגם <math>x\in A_i</math> לכן <math>x\in B</math> וגם <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)</math> ולכן <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B</math>
===תרגיל===
הוכח כי <math>A\cap (B/C)=(A\cap B) / (A\cap C)</math>
====פתרון====
דרך גרירות לוגיות:
<math>x\in A\cap (B/C)\iff (x\in A) \and [(x\in B) \and (x\notin C)]\iff [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin C)] \or [(x\in A) \and (x\in B) \and (x\notin A)] </math>
בצד הימני הוספנו סתירה בעזרת הקשר "או" ולכן נשארנו עם ביטוי שקול. כעת נשתמש בחוק הפילוג של הלוגיקה:
<math>\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and [(x\notin C)\or(x\notin A)]\iff [(x\in A) \and (x\in B)]\and \neg [(x\in C)\and(x\in A)] </math>
וזה בדיוק מה שרצינו.
דרך הכלה דו כיוונית:
(<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\backslash C)</math> אזי
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow</math>
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
<math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math>
(<math>\supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \backslash (A\cap C)</math> אזי
<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>
<math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math>
(כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>x\in A\cap C</math> סתירה)
<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math>
