שינויים

*קבוצות הן שוות אם הן מכילות את אותם האיברים. הדרך הנפוצה להוכיח שיוויון הינה '''הכלה דו כיוונית''': A=B אם ורק אם <math>(A\subseteq B) \and (B \subseteq A)</math>.

*A '''הפרש''' B הינה הקבוצה המכילה את כל האיברים בA שאינם בB (מסומן A\B). מתקיים ש <math>x\in A/\setminus B \iff (x\in A) \and (x\notin B)</math>.

*'''ההפרש הסימטרי''' בין שתי קבוצות A וB הוא אוסף האיברים הנמצאים באחת הקבוצות אך לא בחיתוך (מסומן <math>A\Delta B</math>). מתקיים ש <math>x\in A\Delta B \iff ((x\in A)\and (x\notin B)) \or ((x\in B)\and (x\notin A)) \iff x\in (A\cup B / ) \smallsetminus (A\cap B)</math>

<math>C \backslash smallsetminus A =\{\{1,2\}\}</math>

כעת, מתוך הטאוטולוגיה <math>(p\and q)\or r \iff (p\or r)\and(pq\or r)</math> קל להשיג את השקילות למה שצריך.

<math>\cup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math> <math>\cap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math> דוגמא: נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \; A_n:=[n,n+1]</math> אזי  <math>\cup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math> <math>\cap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math> ===תרגיל===נתון <math>A=\{\phi\}</math> ונתון <math>B=\{\phi,\{\phi\}\}</math>. סמן את הביטויים הנכונים:#<math>\phi\subseteq B</math> (כן)#<math>\phi\in \phi</math> (לא)#<math>\phi \subseteq \phi</math> (כן)#<math>A\subseteq B</math> (כן)#<math>A\in B</math> (כן)#<math>A\cup B = B</math> (כן)#<math>A\cap B=\phi</math> (לא) ===תרגיל===

====פתרון====פתרו: 

(<math>\subseteq</math>) נניח <math>x\in A\cap(B\slash backslash C)</math> אזי <math>x\in A \land x\in B \land x\not\in C \Rightarrow</math><math>x\in A\cap B \land x\not\in A\capC \Rightarrow</math><math>x\in (A\cap B) \slash (A\cap C)</math>

(<math>supseteq</math>) נניח <math>x\in (A\cap B) \slash (A\cap C)</math> אזי <math>land x\in A\cap B \land x\not\in A\capC C \RightarrowLeftarrow</math><math>x\in A \land x\in cap B \land x\not\in A\cap C \RightarrowLeftarrow</math>(כי אם <math>x\in C</math> אזי <math>\in (A\cap C</math> סתירהB)<math>x\in backslash (A\cap(B\slash C)</math>

===תרגיל===נתונות (<math>A=\{2m+1:m\in\mathbb{Z}\}supseteq</math>, ו ) נניח <math>B=\{2m+3:mx\in(A\mathbb{Z}cap B) \}backslash (A\cap C)</math>. הוכח שA=B.אזי

====פתרון====<math>x\in A\cap B \land x\not\in A\cap C \Leftarrow</math>נוכיח הכלה דו כיוונית. נניח <math>x\in A\land x\in B \land x\not\in C \Leftarrow </math> לכן קיים מספר שלם m כך ש (כי אם <math>x=2m+1\in C</math>. קל לראות שמתקיים אזי <math>x=2(m-1)+3\in A\cap C</math> אבל אז מכיוון ש m-1 הינו מספר שלם מתקיים סתירה)<math>x\in A\cap(B\backslash C)\Leftarrow </math> כפי שרצינו.

'''הגדרה:'''יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות כאשר <math>I</math> הוא קבוצת אינדקסים אזי נגדיר את האיחוד והחיתוך של אוסף הקבוצות כך:  <math>\bigcup _{i\in I} A_i := \{x| \exist i\in I :x\in A_i \} </math> <math>\bigcap _{i\in I} A_i := \{x| \forall i\in I :x\in A_i \} </math>. כאן יש להניח שקבוצת האינדקסים <math>I</math> לא ריקה. דוגמא: נגדיר <math>\forall n\in \mathbb{N} \; A_n:=[n,n+1]</math> אזי  <math>\bigcup _{i\in \mathbb{N}} A_i = [ 1,\infty ) </math> <math>\bigcap _{i\in \mathbb{N}} A_i = \phi </math> ==== תרגיל ====לכל n>1 טבעי נגדיר <math>A_n</math> להיות קבוצת כל הראשוניים המחלקים את n. חשבו את *<math>A_{12}\cap A_{10}</math>*<math>\cup_{n=2}^{15} A_n</math>*<math>\cap_{n=2}^5 A_{6n}</math>*<math>\bigcup _{i=2}^\infty A_i</math>*<math>\bigcup _{i=1}^\infty A_{2^i}</math> ==== תרגיל (הכללת פילוג)====יהיו <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> אוסף קבוצות, B קבוצה. הוכיחו כי <math>(\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B= \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B) </math> פתרון: יהא <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B</math> אזי <math>x\in B</math> וגם <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)</math> לכן <math>x\in B</math> וגם <math>\exist i\in I :x\in A_i</math> ולכן <math>x\in A_i\cap B</math> ומכאן ש <math>x\in \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B)</math> בכיוון שני: יהא <math>x\in \bigcup _{i\in I} (A_i\cap B)</math> ולכן <math>\exist i\in I :x\in A_i\cap B</math> לכן <math>x\in B</math>וגם <math>x\in A_i</math> לכן <math>x\in B</math> וגם <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)</math> ולכן <math>x\in (\bigcup _{i\in I} A_i)\cap B</math>   ==== משלים ==== '''הגדרה''': תהי קבוצה U, ונביט בתת קבוצה שלה A. ניתן להגדיר את ה'''משלים''' של A כאוסף האיברים בU שאינם בA (כלומר ההפרש<math>U\setminus A</math>), מסומן <math>A^c</math>. לא ניתן לדבר על משלים אוניברסאלי ללא U מכיוון שאין קבוצה המכילה את כל הדברים בעולם (אחרת נגיע לסתירות כמו פרדוקס ראסל). תכונות בסיסיות:* <math>A\cup A^c = U</math>* <math>\emptyset^c = U</math>* <math>U^c = \emptyset</math>* <math>(A^c)^c = A</math>

ג. נניח בשלילה ש<math>P(A)\cap P(B)\neq \{\phi\}</math>. מכיוון שהקבוצה הריקה שייכת לכל קבוצת חזקה החיתוך אינו ריק. לכן לפי הנחת השלילה קיימת קבוצה לא ריקה <math>\phi \not=C המוכלת בחיתוך</math> השייכת לחיתוך <math>P(A)\cap P(B)</math>. קבוצות החזקה הן אוסף תתי הקבוצות, ולכן <math>C\subseteq A \and C\subseteq B</math>. מכיוון שC אינה ריקה קיים בה איבר <math>\exists c\in C</math> וקל מאד לראות ש<math>(c\in A)\and (c\in B) </math> ולכן c מוכל בחיתוך בסתירה לכך שהחיתוך ריק.