שינויים
/* לפעמים כדאי להניח הנחות חזקות יותר */
שזה הטענה עבור <math>n+1</math> וסיימנו.
=== לפעמים כדאי להניח הנחות חזקות יותר ===
תרגיל:
נגדיר <math>a_0 =0 , a_{n+1}=a_n^2 +1/4</math>. הוכח כי לכל n מתקיים <math>a_n<1</math> פתרון: נוכיח משהו יותר חזק - לכל n מתקיים <math>a_n<1/2</math> אכן: עבור <math>a_0</math> זה מתקיים. כעת נניח שנכון עבור n ונראה עבור n+1 <math>a_{n+1}=a_n^2+1/4<(1/2)^2+1/4 =1/2</math> ==סדר טוב - העשרה מתקדמת ביותר, לא להעביר לשנה א ==
הגדרה: יהי <math>R</math> יחס סדר חלקי על קבוצה <math>A</math>.
דוגמא: הקס"ח <math>(\{1,2,3\},\le)</math> היא סדורה היטב - תתי הקבוצות הלא ריקות שלה הן <math>\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,3\},\{1,2,3\}</math> והאיבר הראשון בכל תת קבוצה הוא בהתאמה <math>1,2,3,1,2,1,1</math>.
===עקרון הסדר הטוב===
פתרון:
עבור <math>n=2</math> נקבל <math>(1+x)^2 = 1+2x+x^2>1+2x</math> כי <math>x>0</math> .
כעת נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n</math> כלשהוא, כלומר מתקיים <math>(1+x)^n > 1+nx</math>
נוכיח עבור <math>n+1</math> מהנחת האינדוקציה נקבל כי
<math> (1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)\stackrel{*}{>}(1+nx) (1+x)= 1+nx +x+nx^2 > 1+x+nx =1+ (n+1)x </math> כאשר המעבר <math>*</math> נובע מכך ש- <math>x>0</math>.
וסיימנו
=== הכללה מעמיקה ===
תהא <math>A</math> קבוצה סדורה היטב (נסמן את היחס שלה ב<math>\leq</math>) בת מניה אז ניתן להוכיח שטענה <math>P</math> מתקיימת לכל <math>a\in A</math> ע"י הוכחת הטענה הבא אזי:* '''אם''' הטענה <math>\forall n ([\forall m<n P (m)] \to P(n))</math> *אז נכונה עבור <math>m<nP</math> אז הטענה נכונה עבור מתקיימת לכל <math>na\in A</math>.
== תרגילים יותר מעניינים ==
===תרגיל ===
יהא <math>A</math> פסוק. נגדיר בעזרת אינדוקציה פסוקים:
<math>P_0 = A, P_n=(P_{n-1})\to A</math>
הוכיחו כי <math>P_{n}</math>
טואוטולוגיה כאשר <math>n</math> אי-זוגי.
פתרון: נוכיח באינדוקציה כי לכל <math>n</math> אי-זוגי, הפסוק <math>P_{n}</math>
הוא טואוטולוגיה.בדיקה: עבור <math>n=1</math>, הפסוק הוא <math>A\to A</math>. הוא אכן טואוטולוגיה.
צעד: כעת, נניח את נכונות הטענה עבור <math>n</math> אי-זוגי, ונוכיח עבור האי-זוגי הבא בתור, כלומר <math>n+2</math>.
מתקיים:<math>P_{n+2}=P_{n+1}\to A=(P_{n}\to A)\to A</math> נראה כי זו אכן טואוטולוגיה. ראשית, לפי ההנחה, <math>P_{n}\equiv T</math>
לכל ערך של <math>A</math>.
• אם <math>A=F</math>, נקבל <math>(T\to F)\to F\equiv F\to F</math>- אכן אמת.
• אם <math>A=T</math>, נקבל <math> (T\to T)\to T\equiv T\to T</math> - אכן אמת.
וסיימנו באינדוקציה.
===תרגיל:===
