שינויים
/* תרגיל: */
בוא נחשוב.. הוכחנו באופן ישיר כי הטענה נכונה עבור <math>n=1</math> כלומר <math>P(1)</math> מתקיים. לכן לפי הטענה השניה, אם הטענה נכונה עבור <math>n=1</math> (שזה אכן כך) אז הטענה נכונה גם עבור <math>n=2</math>כלומר <math>P(2)</math>. אה! אז עכשיו זה נכון עבור <math>n=2</math> אז לפי אותה טענה זה נכון גם עבור <math>n=3</math>! ומה עכשיו? אם זה נכון עבור <math>n=3</math> זה נכון עבור <math>n=4</math> . וכן על זה הדרך. אפשר להשתכנע שבסופו של דבר <math>P(n)</math> נכון '''לכל''' <math>n</math>
====דוגמא:====
נוכיח באינדוקציה כי הטענה <math>(1+2+\cdots +n)^2 =1^3 +2^3 + \cdots +n^3</math>
נכונה לכל <math>n\in \mathbb{N} </math> טבעי
====דוגמא נוספת:====
הוכח כי לכל מספר טבעי <math>n</math> מתקיים כי <math>2+4+6+\cdots +2n=n(n+1)</math>
שזה הטענה עבור <math>n+1</math> וסיימנו.
==== תרגיל ====
הוכיחו שלכל <math>n</math> טבעי מתקיים <math>\sum_{k=1}^{n}(2k-1)=n^{2}</math>
=== לפעמים כדאי להניח הנחות חזקות יותר ===
תרגיל:
וסיימנו
==== תרגיל ====
מצאו עבור אילו <math>n</math>ים מתקיים <math>n^{2}<2^{n}</math>
===הכללה פשוטה 2 ===
עוד תרגילים [[מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/4]]
[https://www.weizmann.ac.il/sci-tea/benari/sites/sci-tea.benari/files/uploads/softwareAndLearningMaterials/induction-he.pdf מדריך אינדוקציה של מכון ויצמן]
== תרגילים יותר מעניינים (לא בסגנון "בני גורן". אם יש את הרקע המספק)==
===תרגיל ===
לכן, הטענה נכונה גם עבור <math>n+1</math> וסיימנו
===תרגיל===לכל <math>n</math> טבעי מתקיים:כל טבלה ריבועית בגודל <math>2^{n}\times2^{n}</math> שהוצאנו ממנה משבצת, ניתן לכסות ב "י" (3 משבצות בצורת האות יוד) הוכחה: באינדוקציה. בסיס <math>n=1</math>: טבלה ריבועית בגודל 2 על 2, ואכן כל משבצת שנוציא נשאר עם צורה "יוד" בודדת. צעד: נניח נכונות עבור <math>n</math> ונוכיח נוכונות עבור <math>n+1</math>. תהא טבלה בגודל <math>2^{n+1}\times2^{n+1}</math> שהוצאנו משבצת. את הטבלה הזאת נחלק ל 4 טבלאות קטנות יותר בגודל <math>2^{n}\times2^{n}</math> שאחת מהן חסרה משבצת. את הטבלה הזאת ניתן לכסות ב"יוד" ים לפי הנחת האינדוקציה. בנוסף ניתן להוציא "יוד" נוספת כך ששלושת הטבלאות האחרות יהיו חסרות משבצת אחת בדיוק ואז גם אותם ניתן לכסות ב"יוד" ים לפי הנחת האינדוקציה. מסקנה: לכל <math>n</math> טבעי מתקיים ש 3 מחלק את <math>\left(2^{n}\right)^{2}-1</math>.=== תרגיל ===תהא טבלת שוקולד עם <math>m</math> שורות ו <math>n</math> עמודות. חיתוך של טבלת שוקולד הוא שבירת הטבלה לשתי טבלאות קטנות לאורך או לרוחב הטבלה המקורית. הוכיחו כי בהינתן טבלה עם <math>N</math> קוביות שוקולד, צריך בדיוק <math>N-1</math> חיתוכים על מנת להפריד כל קוביה בנפרד (כלומר לקבל <math>N</math> טבלאות שכל אחת מגודל 1 על 1). הוכחה: באינדוקציה שלמה. אם הטבלה בגודל 1 על 1 סיימנו. אחרת, נבצע חיתוך שרירותי, נקבל 2 טבלאות קטנות יותר, נפעיל עליהם את הנחת האינדוקציה וסיימנו.===תרגיל===
הוכיחו בעזרת אינדוקציה כי כל מצולע קמור (כלומר הצלע בין כל שני קודקודים נמצאת בפנים המצולע) בן <math>n \geq 3</math> צלעות ניתן לשילוש (כלומר ניתן לחלק אותו למשולשים)
ושיש בשילוש <math>n-3</math> אלכסונים.
<math>n+1-(k-1)=n-k+2</math> ולכן מספר הצלעות של <math>M_2</math> הוא <math>n-k+3</math>.
כיוון ש <math>3\leq k,n-k+3\leq n+1</math> ניתן להפעיל את הנחת האינדוקציה על <math>M_1,M_2</math> ולהסיק כי <math>M_1,M_2</math> ניתן לשילוש ע"י <math>k-3,n-k+3 - 3</math> אלכסונים.
צירוף השילושים של <math>M_1,M_2</math> יתן שילוש של <math>M</math> עם <math>(k-3) + (n-k)+1=(n+1)-3 </math> אלכסונים כנדרש.
===תרגיל:===
