שינויים
'''הגדרה''' מחלקות השקילות של יחס זה נקראים רכיבי קשירות.
הגדרה: G יקרא קשיר אם בין כל שני קודקודים יש מסלול. זה שקול לכך שיש רכיב קשירות או באופן שקול <math>\forall v\in V:[v]_{\to}=V</math>
'''דוגמא''': ציור חביב לפי דעת המתרגל.
=תרגילים נוספים=
'''תרגיל''': נניח כ בגרף מתקיים <math>\forall v\in V : \operatorname{degre}(v)\geq 2</math> אז בגרף יש מעגל.
'''פתרון''': נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!
'''תרגיל''': יהי <math>G=(V,E)</math> גרף בעל <math>n\ge 3</math> קדקודים. ו-<math>m \ge n </math> צלעות. אזי בגרף יש מעגל.
''אפשרות 1'': קיים <math>v\in V</math> מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת הצלע שחלה בו) ונקבל גרף חדש עם <math>n</math> קדקודים ו<math>m-1 \ge n </math> צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו.
''אפשרות 2'': לכל קדקוד דרגה גדולה שווה 2. נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד ולפי תרגיל קודם יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!
'''תרגיל''': יהי <math>G</math> גרף מסדר <math>n>1</math>. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה.
'''פתרון''': יהיו <math>v,u\in V</math>. צריך להוכיח כי <math>[v]=[u]</math> (כך נסמן את רכיב הקשירות).
נניח כי הם שונים, אזי ב<math>|[v]|,|[u]|\geq 5051</math>( הקודוקד + לפחות 50 שכנים). אלו הם שני מרכיבי קשירות שונים ולכן הם זרים, ומכך שבגרף יש לכל היותר 100 102 קדקודים, בהכרח <math>|[v]|=|[u]|=50</math> אבל ברכיב קשירות שיש בו 50 קדקודים דרגת כל קדקוד קטנה שווה ל 49, סתירה. '''תרגיל''': נניח כ בגרף מתקיים <math>\forall v\in V : \operatorname{degre}(v)\geq 2</math> אז בגרף יש מעגל. '''פתרון''': בגרף יש יותר מ 2 קדקודים (אחרת לא יהיו להם 2 שכנים). לפי משפט לחיצת הידיים מתקיים <math>2|E|= \sum_{v\in V}\operatorname{degree}(v)\geq \sum_{v\in V}2 =2|V|</math>, ולכן מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקדקודים. לפי משפט קודם קיים מעגל בגרף.
