שינויים

'''הגדרה''' יהיה : '''גרף''' <math>VG</math> מעל קבוצה לא ריקה. יהא <math>V</math> הוא זוג סדור <math>G=(V,E)</math> קבוצה המכילה זוגות לא סדורים מאיברי כאשר <math>E \subseteq V\times V</math>אזי - כלומר קבוצה המכילה זוגות סדורים מאיברי <math>G=(V,E)</math> נקרא גרף לא מכוון.

חושבים על הקבוצה <math>V</math> כקודקודים היא קבוצת ה'''קדקודים''' של הגרף ועל , והקבוצה <math>E</math> כקשתותהיא קבוצת הקשתות/צלעות של הגרף. את האיברים ב <math>E</math> נהוג לרשום כקבוצה <math>\{v,w\}\in E</math> (בגלל שזה זוגות לא סדורים)

דוגמא'''הגדרה''': גרף <math>G</math> ייקרא '''לא מכוון''' אם היחס <math>V=\{1,2,3\}, E=\Big\{\{1</math> הוא סימטרי,2\}כלומר אין משמעות לכיוון הצלע. אחרת הגרף ייקרא מכוון. בגרף לא מכוון,\{2אין משמעות לכיוון הצלע,3\}ולכן לעתים מסמנים <math>(u,v)</math> בתור <math>\{1u,3\}\Bigv\}</math> מייצג משולש.

'''הגדרהדוגמא''' הסדר של גרף : נביט בקבוצה <math>G=(V,E)\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}</math> הוא , ובגרף <math>|V|G</math>מעליה, בו מחברים בין כל שני קדקודים במרחק 1 זה מזה - מתקבלת רשת אינסופית. זהו גרף יקרא סופי אם הסדר שלו סופי (וגם <math>E</math> סופית)אינסופי, בו לכל קדקוד יש ארבעה שכנים.

'''הבהרה: אנחנו נעסוק בגרפים סופיים, לא מכוונים , בלי צלעות כפולות ובלי לולאות כלומר המקיימים <math>\forall v\in V : \{v,v\}\not\in E</math>'''.

'''הגדרה''' יהיה את קבוצת השכנים של <math>G=(V,E)u</math> נאמר כי מסמנים <math>\Gamma(u)=\{v,w\in V</math> שכנים אם <math>\; :\; \{v,wu\}\in E\}</math>.

במקרה זה נאמר כי הצלע ה'''דרגה''' של <math>\{vu</math>,wהמסומנת <math>\text{degree}\in E(u)</math> חלה , היא מספר הצלעות החלות ב <math>wu</math> (או חלה ב , כלומר <math>v|\Gamma(u)|</math>).

הדרגה של <math>u</math> (סימון'''דוגמא: <math>\text{degree}(u)</math>)היא מספר הצלעות החלות ב <math>u</math> או לחילופין <math>|\Gamma(u)|</math>''' במשולש, כל 2 קדקודים שכנים. כל קדקוד מדרגה 2: השכנים של כל קדקוד הם שני הקדקודים האחרים.

בדוגמא של המשולש - כל 2 קודקודים שכנים. כל קודקוד מדרגה 2==משפט (לחיצת הידיים)==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף לא מכוון. השכנים של קודקוד מספר 1 הוא קודקוד אזי <math>\sum_{v\in V}\text{degree}(v)=2 + קודקוד 3|E|</math>.

'''משפט''' (לחיצת הידיים)=== תרגיל ===יהי נאמר כי גרף <math>G=(V,E)</math> גרף לא מכוון. אזי הוא <math>\sum_{v\in V}(\text{degree}(v)=2|E|)k</math>-'''רגולרי''' אם הדרגה של כל קדקוד שווה ל-<math>k</math>. למשל, משולש הוא גרף 2-רגולרי.

עוד הגדרותהוכחה:

יהי לפי משפט לחיצת הידיים <math>G2|E|=(\sum_{v\in V,E}\text{degree}(v)=n\cdot k</math> גרף לא מכוון. סדרת קודקודים (סדורה) לכן <math>(v_0,v_1,\dotsnk</math> זוגי,v_nולכן <math>k</math> נקראת מסלול אםזוגי או <math>\forall i : \{v_i,v_{i+1}\in E\}n</math>זוגי.

מעגל הוא מסלול המקיים יהי <math>v_0G=(V,E)</math> גרף לא מכוון. סדרת קדקודים (סדורה) <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)</math> נקראת '''מסלול''' אם <math>\forall i : \{v_i,v_{i+1}\}\in E</math> וגם כל הצלעות שונות - כלומר לכל <math>i\neq j</math> מתקיים <math>(v_i,v_{i+1}) \neq (v_j,v_{j+1})</math>.

מעגל פשוט מסלול שכל קודקודיו יקרא '''פשוט''' אם כל הקדקודים <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)</math> שונים זה מזה, פרט לקודקוד הראשון והאחרון ששווים (כלומר אולי ל <math>v_0=v_n</math> , ובמקרה זה המסלול נקרא '''מעגל'''. אורך המסלול <math>(v_0,v_1,\dots,v_n)</math> הוא <math>n</math>, והנקודות <math>v_0</math> ו-<math>v_n</math> נקראות '''נקודות ההתחלה והסיום''' של המסלול.

אורך המסלול '''הגדרה''': המרחק בין <math>(v_0,v_1v,u\dotsin V</math> הוא המסלול עם אורך מינימלי בין <math>v,v_nu\in V</math> . אם אין מסלול בין הנקודות, אומרים שהמרחק הוא אינסוף. מסמנים את המרחק <math>nd(u,v)</math>, ואם יש צורך להדגיש את הגרפים אז מסמנים <math>d_G(u,v)</math>.

ה'''קוטר''' של גרף <math>G=(v_0V,v_1,\dots,v_nE)</math> הינו מסלול מ מוגדר כמרחק המקסימאלי בין זוגות קדקודים - כלומר <math>v_0</math> ל <math>v_n\operatorname{diam}(G)=\max_{u,v\in V}{d(v,u)}</math>

המרחק בין <math>v,u\in V</math> הוא המסלול עם אורך מינמאלי בין הקודקודים. (סימון <math>d(u,v)</math> או <math>d_G(u,v)</math> )'''תרגיל''': הוכח כי זהו יחס שקילות.

'''פתרון''':# ''רפלקסיבי'' - לכל קדקוד <math>v</math>, המסלול <math>(v)</math> עושה את העבודה.# ''סימטרי'' - אם אין <math> u\to v</math>, אז יש מסלול <math> (v_0,\dots,v_n)</math> בין <math>u</math> ל-<math>v</math>. נביט במסלול ההפוך - <math> (v_n,uv_{n-1}\in Vdots ,v_1,v_0)</math> נסמן - זהו מסלול בין <math>v</math> ל-<math>d(u</math>,ולכן <math>v\to u</math>.# ''טרנזיטיבי'' - אם <math> u\to v</math> וגם <math> v\to w</math>, אז יש מסלולים <math> (v_1,\dots,v_n)</math> ו-<math> (v_1',\dots,v_n')</math>. היות ש-<math> v_n= v=v_1'</math>, נביט במסלול <math> (v_1,\dots,v_n=v_1',\dots,v_n')</math> - זהו מסלול המעיד על כך ש-<math> u\inftyto w</math>.

הקוטר '''הגדרה''' מחלקות השקילות של גרף <math>G=(V,E)</math> מוגדר כמרחק המקסימאלי בין 2 קודקודים יחס זה נקראים רכיבי קשירות. כלומר <math>\max_{u,v\in V}(d(v,u))</math>

הגדרה: G יקרא קשיר אם בין כל שני קודקודים יש מסלול. זה שקול לכך שיש רכיב קשירות או באופן שקול <math>\forall v\in V:[v]_{\to}==בניה==V</math>

עבור גרף לא מכוון <math>G=(V,E)</math> נגדיר יחס שקילות <math>\to </math> על <math>V</math> כך'''דוגמא''':ציור חביב לפי דעת המתרגל.

לכל =תרגילים נוספים===תרגיל==נניח כ בגרף מתקיים <math> \forall v,u\in V: \operatorname{degre}(v)\geq 2</math> מתקיים אז בגרף יש מעגל. '''פתרון''': נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math> v\to u</math> אמ"מ קיים הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל! ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף, ונסמן <math>\delta_G=\underset{v\in V}{\min}\{deg(V)\}</math> את הדרגה המינימלית בגרף. נניח <math>\delta_G\geq 1</math>. הוכיחו: א. יש בגרף מסלול פשוט מאורך לפחות <math>\delta_G</math>. ב. יש בגרף מעגל פשוט מאורך לפחות <math>\delta_G+1</math>. ===פתרון=== א. יהי <math>(v_1,v_2,\dots ,v_k)</math> מסלול פשוט מאורך מקסימלי. מתקיים: <math>\deg(v_1)\geq \delta_G</math>. טענה: כל שכניו נמצאים במסלול. הוכחה: אחרת אפשר להוסיף שכן שלא במסלול לתחילת המסלול ולקבל מסלול פשוט ארוך יותר בסתירה למקסימליות. לכן אורך המסלול לפחות כמו <math>\delta_G</math>. ב. יהי <math>(v_1,v_2,\dots ,v_k)</math> מסלול פשוט מאורך מקסימלי. ראינו שכל שכני הראשון במסלול, ולכן מספיק לקחת את המסלול עד שמגיעים לאחרון השכנים, ואז לחזור חזרה ל <math>v_1</math> ולקבל מעגל פשוט מהאורך המתאים. ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף בעל <math>n\ge 3</math> קדקודים. ו-<math>m \ge n </math> צלעות. אזי בגרף יש מעגל. '''פתרון''': באינדוקציה. עבור <math>n=3</math> הגרף הוא בהכרח משולש (לא יכולות להיות יותר מ-3 צלעות עבור 3 קדקודים) ואכן יש מעגל. נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n</math> ונוכיח עבור <math>n+1</math>. יהי <math>G</math> בעל <math>n+1>3</math> קדקודים ו- <math> m\ge n+1</math> צלעות. ''אפשרות 0'' - קיים קדקוד מדרגה 0 - כלומר אין לו שכנים. אז נביט בגרף בלי הקדקוד הזה, ומהנחת האינדוקציה נקבל שיש בו מעגל; זהו מעגל גם בגרף המקורי. ''אפשרות 1'': קיים <math>v\in V</math> ל מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת הצלע שחלה בו) ונקבל גרף חדש עם <math>un</math> קדקודים ו<math>m-1 \ge n </math> צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו. ''אפשרות 2'': לכל קדקוד דרגה גדולה שווה 2. ולפי תרגיל קודם יש מעגל ==תרגיל==יהי <math>G</math> גרף מסדר <math>n>1</math>. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה. '''פתרון:''' נביט בפונקציית הדרגה <math>\operatorname{deg}:V \to \{0,1,\dots,n-1\}</math> השולחת כל איבר אל הדרגה שלו: <math>v\mapsto \operatorname{deg}(v)</math>; כדי להבין את התמונה של הפונקציה, נשים לב שיש שני מקרים:#אם קיים קדקוד מדרגה <math>n-1</math>, אז הוא מחובר לכולם ולכן אין קדקוד מדרגה אפס. במקרה זה מתקיים <math>\operatorname{Im}(f) \subseteq \{1,\dots n-1\} </math>.#אם אין קדקוד מדרגה <math>n-1</math> אז <math>\operatorname{Im}(f) \subseteq \{0,1,\dots n-2\} </math>. בשני המקרים קיבלנו כי <math>|\operatorname{dom}(f)|=|V|=n, |\operatorname{Im}(f)|\le n-1</math> ולכן <math>f</math> אינה חח"ע. כלומר קיימים <math>v_1\neq v_2</math> כך ש <math>f(v_1)=f(v_2)</math> כלומר בעלי דרגה שווה.  ==תרגיל==יהיה <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט עם 100 קדקודים כך שדרגת כל קדקוד לפחות 50. הוכח כי <math>G</math> קשיר. '''פתרון''': יהיו <math>v,u\in V</math>. צריך להוכיח כי <math>[v]=[u]</math> (כך נסמן את רכיב הקשירות).נניח כי הם שונים, אזי ב<math>|[v]|,|[u]|\geq 51</math> ( הקודוקד + לפחות 50 שכנים). אלו הם שני מרכיבי קשירות שונים ולכן הם זרים, ומכך שבגרף יש לכל הפחות 102 קדקודים, סתירה. '''הערה:''' אפשר להכליל את התרגיל, ולהפוך אותו לתרגיל על קוטר של גרף: יהי <math>G=(V,E)</math> גרף עם <math>|V|=n</math>. הוכיחו שאם דרגת כל קודקוד היא לפחות <math>\frac{n-1}{2}</math> אז <math>diam(G)\leq 2</math>, ובפרט <math>G</math> קשיר. הוכחה: יהיו <math>v,u\in V</math>. אם הם שכנים אז <math>d(v,u)=1</math>. אם לא, אז נניח בשלילה שאין להם שכן משותף ונקבל ש- <math>\infty Gamma(v)\cap \Gamma(u)=\varnothing</math>, ובנוסף <math>|\Gamma(v)|,|\Gamma(u)|\geq \frac{n-1}{2}</math>, ולכן יש בגרף לפחות <math>|\Gamma(v)\cup \Gamma(u)\cup \{v,u\}|=2\cdot \frac{n-1}{2}+2=n+1</math> קודקודים (נובע מכך שהאיחוד זר) בסתירה. לכן יש להם שכן משותף ולכן <math>d(v,u)=2</math>. בסה"כ נקבל <math>\forall v,u:d(v,u)\leq 2</math> ולכן <math>diam(G)\leq 2</math>. ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף ללא מעגלים עם <math>|V|\geq 2</math>. הוכח כי קיימים <math>v_1,v_2\in V</math> כך שדרגתם לכל היותר 1. '''פתרון''': לפי תרגיל קודם קיים <math>v\in V</math> כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודם). נמשיך באינדוקציה על <math>n</math>, מספר הקדקודים בגרף. אם <math>n=2</math> אזי או שהגרף הוא 2 נקודות ללא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע. בכל מקרה 2 הנקודות של הגרף הן מדרגה קטנה שווה ל-1. כעת נניח כי הטענה נכונה עבור <math>n\geq 2</math>. נוכיח את הטענה עבור <math>n+1</math>. נבחר את הקדקוד <math>v\in V</math> שדרגתו לכל היותר 1. נוריד אותו ואת הצלע שחלה בו (אם קיימת), ונקבל גרף עם <math>n</math> קדקודים. לפי הנחת האינדוקציה יש בו 2 קדקודים<math>v_1,v_2</math> בעלי דרגה 1 לכל היותר. כעת נשוב לגרף המקורי (הכולל את <math>v</math> שהשמטנו). יש מספר מקרים:# אם <math>v</math> שכן של <math>v_1</math> אזי <math>v,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1. # אם <math>v</math> שכן של <math>v_2</math> אזי <math>v,v_1</math> בעלי דרגה לכל היותר 1. # אם <math>v</math> שכן של <math>v_1,v_2</math> - סתירה כי הדרגה של <math>v</math> היא 1 לכל היותר.# אם <math>v</math> לא שכן של <math>v_1,v_2</math> אזי <math>v,v_1,v_2</math> בעלי דרגה לכל היותר 1.  בכל מקרה קיבלנו כי קיימים 2 קדקודים בעלי דרגה 1 לכל היותר! ==תרגיל==הוכח/הפרך:# אם מתקיים <math>\forall v \in V: \operatorname{deg}(v)\ge2</math>, אז <math>G</math> קשיר.# קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,4,5.# קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,5,5. '''פתרון''':# לא נכון, למשל שני משולשים מופרדים.# לא נכון, כי סכום הדרגות אי-זוגי, בסתירה למשפט לחיצת הידיים.# הפעם משפט לחיצת הידיים לא נכשל, אך זה עדיין לא נכון - אילו היו שני קדקודים מדרגה 5, הר שכל הקדקודים היו מחוברים אל שניהם, ולכן אין קדקוד מדרגה 1. ==תרגיל==יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון. נניח כי <math>V=V_1\cup V_2</math> איחוד זר (כלומר החיתוך <math>V_1\cap V_2=\emptyset</math>. עוד נניח כי קיים <math>v_i\in V_i</math> כך שקיימת קשת <math>(v_1,v_2)\in E</math> והיא הקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math>. הוכיחו שקיים קודקוד בעל דרגה אי זוגית. פתרון: נסתכל על תת הגרף <math>V_1</math> אם <math>v_1</math> בעל דרגה זוגית בו אז הוא יהיה בעל דרגה אי זוגית ב V. אחרת דרגתו ב V1 אי זוגית ולכן לפי משפט לחיצת הידיים שסכום הדרגות זוגיות, קיים עוד קודוד בעל דרגה אי זוגית ב V1. כיוון שהקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math> היא <math>(v_1,v_2)\in E</math> נקבל כי קודקוד זה בעל דרגה אי זוגית גם ב G. ==תרגיל==יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון קשיר בעל מעגל יחיד עם <math>3\leq |V|</math>. הוכיחו כי <math>|E|=|V|</math>  פתרון: נסמן את המעגל היחידי ב G ב <math>C=(v_0,\dots,v_n)</math>. טענה: <math>|V|\leq |E|</math> הוכחה: נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\})</math> הוא בעל <math>|E|-1</math> קשתות אך עדיין קשיר (כי אם יש מסלול המערב את הקשת שהורדה ניתן להחליף אותה <math>C=(v_0,\dots,v_{n-1})</math>.) לכן לפי הרצאה יש לו לפחות <math>|V|-1</math> קשתות ולכן <math>|V|-1\leq |E|-1</math> ואחרי העברת אגפים נקבל את המבוקש. טענה: <math>|E|\leq |V|</math> הוכחה: נניח בשלילה כי <math>|V|+1\leq |E|</math> נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\})</math>הוא בעל <math>|V| \leq|E|-1</math> קשתות אך הרסנו את המעגל היחידי שהיה ב G אבל לפי תרגיל ממקודם אם מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקודקודים יש בו מעגל. סתירה. ==תרגיל==א. מהו הקוטר המקסימלי של גרף קשיר עם <math>n</math> קודקודים? ב. מהו המספר המינימלי של קשתות בגרף עם <math>n</math> קודקודים וקוטר 2? '''פתרון:''' א. <math>n-1</math>. לא יכול להיות יותר כי הקוטר מוגדר כמרחק המקסימלי בין קודקודים, ומרחק הוא אורך המסלול הקצר, ומסלול קצר לא מכיל מעגלים, ולכן מכיל לכל היותר <math>n</math> קודקודים, ולכן לכל היותר <math>n-1</math> קשתות. גרף קו הוא עם קוטר <math>n-1</math> כי זה המרחק בין הימני ביותר לשמאלי ביותר, לכן זה הקוטר המקסימלי. ב. <math>n-1</math>. לא יכול להיות פחות כי אז הגרף לא יהיה קשיר וקטרו יהיה אינסוף ולא 2. גרף כוכב (יש קודקוד <math>u</math> המקיים <math>E=\{\{u,v\}:u\neq v\}</math> כלומר, הוא מחובר לכולם ואין עוד קשתות) הוא עם <math>n-1</math> קשתות וקוטר 2, כי המרחק בין שני קודקודים שאינם <math>u</math> הוא 2 (ואם אחד מהם הוא <math>u</math>אז 1).