'''הגדרה''' מחלקות השקילות של יחס זה נקראים רכיבי קשירות.
הגדרה: G יקרא קשיר אם בין כל שני קודקודים יש מסלול. זה שקול לכך שיש רכיב קשירות או באופן שקול <math>\forall v\in V:[v]_{\to}=V</math>
'''דוגמא''': ציור חביב לפי דעת המתרגל.
=תרגילים נוספים=
==תרגיל==נניח כ בגרף מתקיים <math>\forall v\in V : \operatorname{degre}(v)\geq 2</math> אז בגרף יש מעגל. '''תרגילפתרון''': נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל! ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף, ונסמן <math>\delta_G=\underset{v\in V}{\min}\{deg(V)\}</math> את הדרגה המינימלית בגרף. נניח <math>\delta_G\geq 1</math>. הוכיחו: א. יש בגרף מסלול פשוט מאורך לפחות <math>\delta_G</math>. ב. יש בגרף מעגל פשוט מאורך לפחות <math>\delta_G+1</math>. ===פתרון=== א. יהי <math>(v_1,v_2,\dots ,v_k)</math> מסלול פשוט מאורך מקסימלי. מתקיים: <math>\deg(v_1)\geq \delta_G</math>. טענה: כל שכניו נמצאים במסלול. הוכחה: אחרת אפשר להוסיף שכן שלא במסלול לתחילת המסלול ולקבל מסלול פשוט ארוך יותר בסתירה למקסימליות. לכן אורך המסלול לפחות כמו <math>\delta_G</math>. ב. יהי <math>(v_1,v_2,\dots ,v_k)</math> מסלול פשוט מאורך מקסימלי. ראינו שכל שכני הראשון במסלול, ולכן מספיק לקחת את המסלול עד שמגיעים לאחרון השכנים, ואז לחזור חזרה ל <math>v_1</math> ולקבל מעגל פשוט מהאורך המתאים. ==תרגיל==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף בעל <math>n\ge 3</math> קדקודים. ו-<math>m \ge n </math> צלעות. אזי בגרף יש מעגל.
'''פתרון''': באינדוקציה.
עבור <math>n=3</math> הגרף הוא בהכרח משולש (לא יכולות להיות יותר מ-4 3 צלעות עבור 3 קדקודים) ואכן יש מעגל.
נניח כי הטכנה הטענה נכונה עבור <math>n</math> ונוכיח עבור <math>n+1</math>. יהי <math>G</math> בעל <math>n+1>3</math> קדקודים ו- <math> m\ge n+1</math> צלעות.
''אפשרות 0'' - קיים קדקוד מדרגה 0 - כלומר אין לו שכנים. אז נביט בגרף בלי הקדקוד הזה, ומהנחת האינדוקציה נקבל שיש בו מעגל; זהו מעגל גם בגרף המקורי.
''אפשרות 1'': קיים <math>v\in V</math> מדרגה 1. נוריד את הקדקוד הזה (ואת הצלע שחלה בו) ונקבל גרף חדש עם <math>n</math> קדקודים ו<math>m-1 \ge n </math> צלעות. לפי הנחת האינדוקציה קיים בו מעגל. מעגל זה קיים גם בגרף בו התחלנו.
''אפשרות 2'': לכל קדקוד דרגה גדולה שווה 2. נבחר <math>v_0\in V</math> ונצא ממנו לאחד משכניו. מפה נמשיך למסלול רנדומאלי כך שאם הולכים מ <math>v\to u</math> הצעד הבא לא יהיה <math>u\to v</math> (זה אפשרי כי כל קדקוד ולפי תרגיל קודם יש לפחות 2 שכנים אז אם נכנסים אליו משכן א ניתן לצאת משכן ב). כיוון שיש מספר סופי של קדקודים נקבל חזרה על קדקוד כלשהו בשלב כלשהו. בפעם הראשונה שנקבל חזרה קיבלנו מעגל!
'''==תרגיל''': ==יהי <math>G</math> גרף מסדר <math>n>1</math>. הוכח שקיימים 2 קדקודים בעלי אותה דרגה.
'''פתרון:''' נביט בפונקציית הדרגה <math>\operatorname{deg}:V \to \{0,1,\dots,n-1\}</math> השולחת כל איבר אל הדרגה שלו: <math>v\mapsto \operatorname{deg}(v)</math>; כדי להבין את התמונה של הפונקציה, נשים לב שיש שני מקרים:
'''==תרגיל''': ==יהיה <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט עם 100 קדקודים כך שדרגת כל קדקוד לפחות 50. הוכח כי <math>G</math> קשיר.
'''פתרון''': יהיו <math>v,u\in V</math>. צריך להוכיח כי <math>[v]=[u]</math> (כך נסמן את רכיב הקשירות).
נניח כי הם שונים, אזי ב<math>|[v]|,|[u]|\geq 5051</math>( הקודוקד + לפחות 50 שכנים). אלו הם שני מרכיבי קשירות שונים ולכן הם זרים, ומכך שבגרף יש לכל היותר 100 קדקודים, בהכרח <math>|[v]|=|[u]|=50</math> אבל ברכיב קשירות שיש בו 50 הפחות 102 קדקודים דרגת כל קדקוד קטנה שווה ל 49, סתירה.
'''הערה:''' אפשר להכליל את התרגיל, ולהפוך אותו לתרגיל על קוטר של גרף: יהי <math>G=(V,E)</math> גרף עם <math>|V|=n</math>. הוכיחו שאם דרגת כל קודקוד היא לפחות <math>\frac{n-1}{2}</math> אז <math>diam(G)\leq 2</math>, ובפרט <math>G</math> קשיר.
'''תרגיל'''הוכחה: נניח כ בגרף מתקיים יהיו <math>\forall v,u\in V : </math>. אם הם שכנים אז <math>d(v,u)=1</math>. אם לא, אז נניח בשלילה שאין להם שכן משותף ונקבל ש- <math>\operatorname{degre}Gamma(v)\cap \Gamma(u)=\varnothing</math>, ובנוסף <math>|\Gamma(v)|,|\Gamma(u)|\geq \frac{n-1}{2}</math> אז , ולכן יש בגרף לפחות <math>|\Gamma(v)\cup \Gamma(u)\cup \{v,u\}|=2\cdot \frac{n-1}{2}+2=n+1</math> קודקודים (נובע מכך שהאיחוד זר) בסתירה. לכן יש מעגללהם שכן משותף ולכן <math>d(v,u)=2</math>. בסה"כ נקבל <math>\forall v,u:d(v,u)\leq 2</math> ולכן <math>diam(G)\leq 2</math>.
'''פתרון''': בגרף יש יותר מ 2 קדקודים (אחרת לא יהיו להם 2 שכנים). לפי משפט לחיצת הידיים מתקיים <math>2|E|= \sum_{v\in V}\operatorname{degree}(v)\geq \sum_{v\in V}2 =2|V|</math>, ולכן מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקדקודים. לפי משפט קודם קיים מעגל בגרף. '''תרגיל''': ==יהי <math>G=(V,E)</math> גרף ללא מעגלים עם <math>|V|\geq 2</math>. הוכח כי קיימים <math>v_1,v_2\in V</math> כך שדרגתם לכל היותר 1.
'''פתרון''': לפי תרגיל קודם קיים <math>v\in V</math> כך שדרגתו לכל היותר 1 (אחרת לכל הקדקודים יש דרגה לפחות 2 ואז יש מעגל לפי תרגיל קודם).
נמשיך באינדוקציה על <math>n</math>, מספר הקדקודים בגרף.
אם <math>n=2</math> אזי או שהגרף הוא 2 נקודות ללא צלעות או 2 נקודות המחוברות בצלע. בכל מקרה 2 הנקודות של הגרף הן מדרגה קטנה שווה ל-1.
בכל מקרה קיבלנו כי קיימים 2 קדקודים בעלי דרגה 1 לכל היותר!
==תרגיל==
הוכח/הפרך:
# אם מתקיים <math>\forall v \in V: \operatorname{deg}(v)\ge2</math>, אז <math>G</math> קשיר.
# קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,4,5.
# קיים גרף בן שישה קדקודים 1,2,3,4,5,5.
'''פתרון''':
# לא נכון, למשל שני משולשים מופרדים.
# לא נכון, כי סכום הדרגות אי-זוגי, בסתירה למשפט לחיצת הידיים.
# הפעם משפט לחיצת הידיים לא נכשל, אך זה עדיין לא נכון - אילו היו שני קדקודים מדרגה 5, הר שכל הקדקודים היו מחוברים אל שניהם, ולכן אין קדקוד מדרגה 1.
==תרגיל==
יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון. נניח כי <math>V=V_1\cup V_2</math> איחוד זר (כלומר החיתוך <math>V_1\cap V_2=\emptyset</math>. עוד נניח כי קיים <math>v_i\in V_i</math> כך שקיימת קשת <math>(v_1,v_2)\in E</math> והיא הקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math>.
הוכיחו שקיים קודקוד בעל דרגה אי זוגית.
פתרון: נסתכל על תת הגרף <math>V_1</math> אם <math>v_1</math> בעל דרגה זוגית בו אז הוא יהיה בעל דרגה אי זוגית ב V. אחרת דרגתו ב V1 אי זוגית ולכן לפי משפט לחיצת הידיים שסכום הדרגות זוגיות, קיים עוד קודוד בעל דרגה אי זוגית ב V1. כיוון שהקשת היחידה בין <math>V_1</math> ל <math>V_2</math> היא <math>(v_1,v_2)\in E</math> נקבל כי קודקוד זה בעל דרגה אי זוגית גם ב G.
==תרגיל==
יהא <math>G=(V,E)</math> גרף פשוט סופי לא מכוון קשיר בעל מעגל יחיד עם <math>3\leq |V|</math>. הוכיחו כי <math>|E|=|V|</math>
פתרון: נסמן את המעגל היחידי ב G ב <math>C=(v_0,\dots,v_n)</math>.
טענה: <math>|V|\leq |E|</math>
הוכחה: נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\})</math> הוא בעל <math>|E|-1</math> קשתות אך עדיין קשיר (כי אם יש מסלול המערב את הקשת שהורדה ניתן להחליף אותה <math>C=(v_0,\dots,v_{n-1})</math>.) לכן לפי הרצאה יש לו לפחות <math>|V|-1</math> קשתות ולכן <math>|V|-1\leq |E|-1</math> ואחרי העברת אגפים נקבל את המבוקש.
טענה: <math>|E|\leq |V|</math>
הוכחה: נניח בשלילה כי <math>|V|+1\leq |E|</math>
נסתכל על הגרף <math>G'=(V,E\setminus \{v_{n-1},v_n\})</math>
הוא בעל <math>|V| \leq|E|-1</math> קשתות אך הרסנו את המעגל היחידי שהיה ב G אבל לפי תרגיל ממקודם אם מספר הצלעות גדול שווה ממספר הקודקודים יש בו מעגל. סתירה.
==תרגיל==
א. מהו הקוטר המקסימלי של גרף קשיר עם <math>n</math> קודקודים?
ב. מהו המספר המינימלי של קשתות בגרף עם <math>n</math> קודקודים וקוטר 2?
'''פתרון:'''
א. <math>n-1</math>. לא יכול להיות יותר כי הקוטר מוגדר כמרחק המקסימלי בין קודקודים, ומרחק הוא אורך המסלול הקצר, ומסלול קצר לא מכיל מעגלים, ולכן מכיל לכל היותר <math>n</math> קודקודים, ולכן לכל היותר <math>n-1</math> קשתות. גרף קו הוא עם קוטר <math>n-1</math> כי זה המרחק בין הימני ביותר לשמאלי ביותר, לכן זה הקוטר המקסימלי.
ב. <math>n-1</math>. לא יכול להיות פחות כי אז הגרף לא יהיה קשיר וקטרו יהיה אינסוף ולא 2. גרף כוכב (יש קודקוד <math>u</math> המקיים <math>E=\{\{u,v\}:u\neq v\}</math> כלומר, הוא מחובר לכולם ואין עוד קשתות) הוא עם <math>n-1</math> קשתות וקוטר 2, כי המרחק בין שני קודקודים שאינם <math>u</math> הוא 2 (ואם אחד מהם הוא <math>u</math> אז 1).