====דוגמא נוספת'''הערה:''' אפשר להציג את היחס על <math>P(X)</math> שמוגדר ע"י <math>A\sim B\iff A\cap S====B\cap S </math> (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית.
הערה: בקיץ עדיף להציג את היחס על ====תרגיל====ל <math>P(X)\mathbb{R}</math> שמוגדרת ע"י נגדיר ארבעה יחסים <math>A~B\iff A\cap S=B\cap Q,R,S ,T</math> (כאשר S ת"ק קבועה). דוגמא נוספת שאין בהרצאותבאופן הבא: על הממשיים מגדירים לכל <math>xTy\iff \exists ax,y\in \mathbb{ZR}:x-y=a</math>. להעיר שצריך שלם, כי טבעי לא מספיק לשקילות.:
נגדיר יחס שקילות R על <math>xQy\mathbb{Z}</math> ע"י <math>3|(iff x-y) \Leftrightarrow xRy=17</math>
טענה<math>xRy\iff \exists a\in \mathbb{N}\cup \{0\}: R אכן יחס שקילותx-y=a</math>
הוכחה<math>xSy\iff \exists a\in 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}:x-y=a</math>.
1. רפלקסיביות - נניח <math>xTy\forall xiff \exists a\in \mathbb{Z}:3|0=x-x</math> לכן <math>xRxy=a</math> .
2בדקו עבור כל אחד מהם האם הוא יחס שקילות. סימטריות - נניח <math>(x,y)\in R</math> אזי <math>3|(x-y)</math> ולכן גם <math>3|(y-x)=-(x-y)</math>
3. טרנזיטיביות - נניח <math>[(x,y)\in R] \and [(y,z)\in R]</math> אזי <math>3|(x-y)\and 3|(y-z) </math> ולכן גם <math>3|(z-x)=(z-y)+(y-x)</math>====פתרון=====
<math>Q</math> לא כיון שלא רפלקסיבי, שהרי לכל <math>x\in \mathbb{R}</math> (ובפרט קיים לפחות אחד) <math>x-x=0\neq 17</math>.
<math>R</math> אמנם רפלקסיבי, אך לא סימטרי.
<math>S</math> לא טרנזיטיבי: <math>2S6\land 6S3</math> אבל לא נכון ש-<math>2S3</math>.
<math>T</math> כן יחס שקילות:
רפלקסיביות: יהי <math>x\in \mathbb{R}</math>, ניקח <math>a=0</math> ואז <math>x-x=0=a</math>.
סימטריות: <math>xTy\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z} :x-y=a \Rightarrow y-x=-a\in \mathbb{Z} \Rightarrow yTx</math>.
טרנזיטיביות: <math>xTy\land yTz\Rightarrow \exists a\in \mathbb{Z}: x-y=a \land \exists b\in \mathbb{Z}: y-z=b\\ \Rightarrow x-z=x-y+y-z=a+b\in \mathbb{Z}</math>.
===חלוקות ומחלקות שקילות===
הגדרה:
