שינויים
/* שאלה ממבחן */
<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.
==תירגול נוסף==
=== תרגיל ===
היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת הממשיים. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם רפלקסיבים?
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R\times R}\,|\,x+y=0\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R\times R}\,|\,x+y=1\right\} </math>
==== תרגיל ====
עבור כל אחד מהיחסים מתרגיל קודם. קבעו האם הוא יחס סדר? האם הוא יחס שקילות? האם הוא חלוקה של הממשיים?
עבור כל אחד מיחסי השקילות של סעיף קודם - מצאו את מחלקת השקילות של האיברים <math>0,\pi, 100</math>
עבור כל אחד מיחסי השקילות של סעיף קודם - תארו את קבוצת המנה.
=== תרגיל ===
היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת הטבעיים. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם רפלקסיבים?
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=0\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=1\right\} </math>
=== תרגיל ===
ראינו שניתן להגדיר את <math>\mathbb{Q}</math> כקבוצת מנה של יחס שקילות. הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר רציונאליים כמו שאנחנו רגילים.
=== תרגיל ===
מצאו קבוצה ויחס שקילות כך שניתן לזהות את המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> עם קבוצת המנה המתקבלת (התבססו על קיומה של קבוצת הטבעיים בלבד).
הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר שלמים כמו שאנחנו רגילים.
=== תרגיל ===
מצאו קבוצה ויחס שקילות כך שניתן לזהות את המספרים המשיים <math>\mathbb{R}</math> עם קבוצת המנה המתקבלת (התבססו על קיומה של קבוצת הרציונאליים בלבד).
הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר שלמים כמו שאנחנו רגילים.
=== תרגיל ===
עבור היחס מודלו <math>n</math> על קבוצת השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, נסמן את קבוצת המנה ב <math>\mathbb{Z}_n</math>
הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של איברים ב <math>\mathbb{Z}_n</math> ע"י <math>[a]+[b]=[a+b], [a][b]=[ab]</math>. חיבור זה נקרא חיבור מודלו n וכפל זה נקראה כפל מודלו n.
===תרגיל===
על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר את היחסים הבאים: (היחסים יסומנו ב <math>\sim</math>)
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1=x_2^2+y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1=x_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff y_1=y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |x_1|=|x_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |y_1|=|y_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |x_1|+|y_1|=|x_2|+|y_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2-y_1=x_2^2-y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff 5x_1^2-y_1=5x_2^2-y_2</math>.
הוכיחו שאלו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?
=== תרגיל ===
תהא <math>X</math> קבוצה. היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת החזקה <math>P(X)</math>. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם רפלקסיבים?
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A=B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\subseteq B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\cap B=B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\cap B=\emptyset\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A^c=B\right\} </math>
==== תרגיל ====
בכל אחד מהיחסים שהופיעו קודם, קבעו האם הוא יחס שקילות. במידה והוא יחס שקילות, מצאו את החלוקה שהוא משרה.
