שינויים
/* תרגיל */
*יחס 'a מחלק את b' (על השלמים) הינו רפלקסיבי, טרנזיטיבי.
*יחס 'אדם x שמע על אדם y' הינו רפלקסיבי.
==== תרגיל (חשוב)====
מצאו יחסים על הקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> עם התכונות הבאות:
* יחס רפלקסיבי
* יחס רפלקסיבי, סימטרי ולא טרנזיטיבי
*עוד לבקשת הקהל
==== תרגיל ====
לכל <math>x</math> ממשי, נגדיר את הערך התחתון שלו <math>\lfloor x\rfloor</math> להיות המספר השלם הגדול ביותר <math>z</math> המקיים <math>z\leq x</math>. למשל <math>\lfloor2.3\rfloor=2</math> למשל <math>\lfloor\pi\rfloor=3</math> למשל <math>\lfloor-2.3\rfloor=-3</math>.
נגדיר <math>R=\left\{ \left(x,\lfloor x\rfloor\right)\,\mid x\in\mathbb{R}\right\}</math> שהוא יחס על <math>\mathbb{R}</math>. קבעו האם הוא רפלקסיבי/סימטרי/אנטי-סימטרי/טרנזיטיבי.
==יחסי שקילות==
הגדרה: תהא A קבוצה ו-R יחס עליה. R יקרה יקרא יחס שקילות אם הוא
#רפלקסיבי
#סימטרי
'''הערה:''' אפשר להציג את היחס על <math>P(X)</math> שמוגדר ע"י <math>A\sim B\iff A\cap S=B\cap S </math> (כאשר S ת"ק קבועה), אם כי זה נעשה בשיעורי הבית.מוזמנים לקחת קבוצות S,X קונקרטיות ולתאר בצורה מדויקת איך היחס נראה ("איך היחס נראה" זה לא שאלה מוגדרת היטב - הכוונה שתוודאו שאתם יודעים להסביר לעצמכם מה הולך שמה). בנוסף, חשבו מה קורה ביחסים:# <math>A\sim B\iff A\cup S=B\cup S </math># <math>A\sim B\iff A\triangle S=B\triangle S </math>
====תרגיל====
====תרגיל====
ראינו לעיל יחס <math>T\subseteq \mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> (המוגדר ע"י שההפרש שייך לשלמים) והראינו שהוא יחס שקילות. הוכיחו:
א. <math>x\in \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}\Rightarrow [x]_T\subseteq \mathbb{R}\smallsetminus \mathbb{Q}</math>.
=====פתרון=====
* יש לבדוק פשוט שהתכונות של יחס שקילות מתקיימות לפי הגדרת היחס הנתון.
* נשים לב ששתי קבוצות ב-(P(A שקולות זו לזו אם ורק אם הן נבדלות זו מזו רק באיברים השייכים ל-S (אפשר להוכיח), כלומר: אם ההפרש הסימטרי שלהן מוכל ב-S. לכן, אם אנו רוצים לספור מחלקות שקילות (שונות), עלינו לספור כמה אפשרויות יש לחלק של ההפרש הסימטרי שאינו מוכל ב-S (החלק שכן לא שמוכל אינו משפיע). כיוון שחלק זה יכול להיות כל תת קבוצה של המשלים של S (ביחס ל-A), וכיוון שבמשלים זה יש 6 איברים, נקבל שישנן 6^2 אפשרויות, ולכן זהו מספר מחלקות השקילות, כלומר: גודל קבוצת המנה.
===דוגמא חשובה - הגדרת הרציונאליים (בהרצאה בד"כ)===
נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N} </math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?
<math>\mathbb{Z}/R</math> הינו אוסף כל הקבוצות המכילות איבר שלם בודד.
==תירגול נוסף==
=== תרגיל ===
היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת הממשיים. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם טרנזיטיבים?
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R\times R}\,|\,x+y=0\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R\times R}\,|\,x+y=1\right\} </math>
==== תרגיל ====
עבור כל אחד מהיחסים מתרגיל קודם. קבעו האם הוא יחס סדר? האם הוא יחס שקילות? האם הוא חלוקה של הממשיים?
עבור כל אחד מיחסי השקילות של סעיף קודם - מצאו את מחלקת השקילות של האיברים <math>0,\pi, 100</math>
עבור כל אחד מיחסי השקילות של סעיף קודם - תארו את קבוצת המנה.
=== תרגיל ===
היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת הטבעיים. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם רפלקסיבים?
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=1\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=2\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{N\times N}\,|\,x+y=3\right\} </math>
=== תרגיל ===
ראינו שניתן להגדיר את <math>\mathbb{Q}</math> כקבוצת מנה של יחס שקילות. הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר רציונאליים כמו שאנחנו רגילים.
=== תרגיל ===
מצאו קבוצה ויחס שקילות כך שניתן לזהות את המספרים השלמים <math>\mathbb{Z}</math> עם קבוצת המנה המתקבלת (התבססו על קיומה של קבוצת הטבעיים בלבד).
הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר שלמים כמו שאנחנו רגילים.
=== תרגיל ===
מצאו קבוצה ויחס שקילות כך שניתן לזהות את המספרים המשיים <math>\mathbb{R}</math> עם קבוצת המנה המתקבלת (התבססו על קיומה של קבוצת הרציונאליים בלבד).
הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של מספר שלמים כמו שאנחנו רגילים.
=== תרגיל ===
עבור היחס מודלו <math>n</math> על קבוצת השלמים <math>\mathbb{Z}</math>, נסמן את קבוצת המנה ב <math>\mathbb{Z}_n</math>
הוכיחו כי ניתן להגדיר חיבור וכפל של איברים ב <math>\mathbb{Z}_n</math> ע"י <math>[a]+[b]=[a+b], [a][b]=[ab]</math>. חיבור זה נקרא חיבור מודלו n וכפל זה נקראה כפל מודלו n.
===תרגיל===
על <math>\mathbb{R}\times \mathbb{R}</math> נגדיר את היחסים הבאים: (היחסים יסומנו ב <math>\sim</math>)
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2+y_1=x_2^2+y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1=x_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff y_1=y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |x_1|=|x_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |y_1|=|y_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff |x_1|+|y_1|=|x_2|+|y_2|</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2-y_1=x_2^2-y_2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff x_1^2-y_1^2=x_2^2-y_2^2</math>.
*<math>(x_1,y_1)\sim (x_2,y_2)\iff 5x_1^2-y_1=5x_2^2-y_2</math>.
הוכיחו שאלו יחס שקילות. מהי, מבחינה גיאומטרית מחלקת השקילות של <math>(0,1)</math>? ומהי, מבחינה גיאומטרית, קבוצת המנה?
=== תרגיל ===
תהא <math>X</math> קבוצה. היחסים הבאים הם יחסים על קבוצת החזקה <math>P(X)</math>. קבעו האם היחסים הבאים הם רפלקסיבים? האם הם סימטרים? האם הם אנטי-סימטריים? האם הם טרנזיטיביים?
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A=B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\subseteq B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\cap B=B\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A\cap B=\emptyset\right\} </math>
* <math>\left\{ \left(A,B\right)\,|\, A^c=B\right\} </math>
==== תרגיל ====
בכל אחד מהיחסים שהופיעו קודם, קבעו האם הוא יחס שקילות. במידה והוא יחס שקילות, מצאו את החלוקה שהוא משרה.
