שינויים

נביט בקבוצת המכפלה הקרטזית של השלמים עם עצמם <math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash \{0\})</math>. נסתכל על ההתאמה <math>(a,b)\leftrightarrow\frac{a}{b}</math> האם תחת ההתאמה הזו ניתן להגדיר את הרציונאליים באמצעות המכפלה הקרטזית לעיל בלבד?

<math>((x,y),(z,w))\in R \subseteq (</math> על <math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z})\times(backslash \mathbb{Z}0\times\mathbb{Z})</math> ע"י <math>((x,y),(z,w))\in R \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>)

<math>(x,y)R(z,w) \iff xw=zy</math> (כלומר אם מתקיים עבור השברים <math>\frac{x}{y}=\frac{z}{w}</math>) נוכיח רק טרנזיטיביות:נניח <math>(x,y)R(z,w), (z,w)R(a,b) </math> אזי <math> xw=zy, zb=aw </math> (צ"ל <math> xb=ay, zb=aw </math>) כייון ש <math> w \not=0 </math> נקבל כי <math>x=\frac{zy}{w}</math> ולכן <math>xb=\frac{zby}{w}=\frac{awy}{w}=ay</math> כנדרש מסקנה: הרציונאלים הם קבוצת המנה של <<math>\mathbb{Z}\times(\mathbb{Z}\backslash \{0\})</math> והיחס שהגדרנו לעיל. למעשה, מאחורי כל שבר עומדת הקבוצה האינסופית של כל השברים השקולים לו, ופשוט אנחנו בוחרים לייצג קבוצה זו על ידי אחד השברים שבה באופן שרירותי (או באופן מסוים - בחירת השבר המצומצם).