נחזור כעת ל-<math>A</math>. נחלק למקרים:
אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math> (תרגיל לסטודנטים): יהי <math>y\in A</math>, כך ש- <math>y\leq b</math>, ונראה <math>y=b</math>: אכן, מההנחה נקבל <math>y\neq a</math>, ולכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>, ומכיון ש-b מינימלי שם נקבל <math>y=b</math>.
אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. כי אם מישהו שונה ממנו מתחתיו אז גם מתחת יהי <math>by\leq a</math> (טרנזיטיביות) וכיון ש-, ונניח בשלילה <math>by\neq a</math> מינימאלי ב-. לכן <math>y\in A\smallsetminus setminus \{a\}</math> . כעת מטרנזיטיבות נקבל שזה <math>y\leq b</math> בסתירה לכך ש- , וממינימליות b נקבל <math>y=b</math>. בסה"כ יש לנו <math>a\leq b\land ab\neq leq a</math>, ומאנטי-סימטריות נקבל <math>a=b</math>בסתירה (כי <math>b\in A\setminus \{a\}</math>).
===הגדרה===
====תרגיל====
יהא <math>(A,\leq)</math> קבוצה סדורה קווית. הוכיחו כי אם x מינמאלי אז x קטן ביותר.
=====פתרון=====
יהא <math>y\in A</math> צ"ל: <math>x\leq y</math>: מהעובדה שהיחס לינארי נקבל <math>x\leq y\lor y\leq x</math>. נחלק למקרים:
1. אם <math>x\leq y</math> סיימנו.
2. אם <math>y\leq x</math> אז לפי הגדרת מינימליות (ונתון ש- <math>x</math> מינימלי) נקבל <math>x=y</math> ולכן <math>x\leq y</math> .
==חסמים==
#תנו דוגמה לקסח <math>\left(A,\leq\right)</math> המקיים כי: <math>\left\{ B\subseteq A\mid\,\exists\sup B\right\}=\emptyset</math> .
==תרגיילים תרגילים נוספים==
===תרגיל ממבחן===
=== תרגיל (מבוחן תשעג)===
יהא <math>A</math> קבוצה ו <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר מלא עליה. נגדיר <math>O</math>
להיות קבוצת כל יחסי הסדר החלקיים על <math>A</math>, סדורה ע"י הכלה. (כלומר הזוג <math>(O,\subseteq)</math> - במילים אחרות, חושבים על <math>O</math> עם יחס הסדר החלקי "הכלה")
הוכח1. יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> הוכיחו: אם<math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר משווה עליה. אז <math>R</math> איבר מקסימלי ב <math>O</math>
2.הוכיח: אם ב <math>A</math> לפחות 2 איברים אז ב <math>(O,\subseteq)</math> אין איברים גדול ביותר 3. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math> 4. הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math> ==== פתרון- ====יהא <math>R\subseteq A\times A</math> יחס סדר על <math>A</math> ונניח כי הוא משווה. נוכיח כי הוא איבר מקסמאלית ב <math>O</math>. יהי <math>S\in O</math> יחס סדר חלקי על <math>A</math> המקיים <math>R\subseteq S</math> צ"ל <math>R=S</math>
נניח בשלילה כי <math>R</math> מוכל ממש ב <math>S</math>
מכיוון ש <math>S</math> יחס סדר חלקי (בפרט אנטי סימטרי) אזי <math>a=b</math> (כי גם (<math>a,b)\in S</math>)
אזי קיבלנו כי ּ<math>(a,a)=(a,b)\notin R</math> סתירה לכך ש <math>R</math> יחס סדר מלא ובפרט רפלקסיבי.
==== שאלות המשך ====
האם ב <math>O</math> יש מקסימום (איבר גדול ביותר)?
תשובה: לא. נניח שקיים איבר מקס' <math>S</math>. כיוון שגם <math>R^{-1}\in O</math> יחס אזי <math>R\cup R^{-1} \subseteq S</math>. בפרט אם <math>(a,b)\in R</math> שונים (נניח שב <math>A</math> יש 2 איברים לפחות) אזי <math>(b,a)\in R^{-1}</math> ולכן <math>(a,b),(b,a)\in S</math> בניגוד לכך ש <math>S</math> אנטי סימטרי.
הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\inf</math>
הוכיחו/הפריכו: לכל קבוצה לא ריקה <math>B\subseteq\mathbb{O}</math> קיים <math>\sup</math>
=== תרגיל ===