שינויים

אם <math>a\not \leq b</math> אז <math>b</math> מינימאלי גם ב-<math>A</math> (תרגיל לסטודנטים): יהי <math>y\in A</math>, כך ש- <math>y\leq b</math>, ונראה <math>y=b</math>: אכן, מההנחה נקבל <math>y\neq a</math>, ולכן <math>y\in A\setminus \{a\}</math>, ומכיון ש-b מינימלי שם נקבל <math>y=b</math>.

אם <math>a\leq b</math> אז <math>a</math> מינימאלי ב-<math>A</math>. כי אם מישהו שונה ממנו מתחתיו אז גם מתחת יהי <math>by\leq a</math> (טרנזיטיביות) וכיון ש-, ונניח בשלילה <math>by\neq a</math> מינימאלי ב-. לכן <math>y\in A\smallsetminus setminus \{a\}</math> . כעת מטרנזיטיבות נקבל שזה <math>y\leq b</math> בסתירה לכך ש- , וממינימליות b נקבל <math>y=b</math>. בסה"כ יש לנו <math>a\leq b\land ab\neq leq a</math>, ומאנטי-סימטריות נקבל <math>a=b</math>בסתירה (כי <math>b\in A\setminus \{a\}</math>).