הוכיחו/הפריכו: אם <math>\cup_{i\in I}A_i \not\in X</math> אזי ל <math>\{A_i\mid i\in I\}</math> אין חסם עליון.
===תרגיל ממבחן===
הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי.
תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי.
'''הוכחה.'''
נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B.
===תרגיל===
נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי.
'''פתרון.'''
נבדוק את תכונות היחס:
*רפלקסיביות - ברור.
*אנטי-סימטריות - אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math> וגם <math>(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)</math> אזי <math>(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)</math> ולכן שני השברים המצומצמים שווים.
*טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד.
לכן R הינו יחס סדר חלקי.
שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?
=== יחס סדר מילוני ===
נגדיר <math>B = \{(x,1) | x\in \mathbb{N} \}</math> אזי <math>inf(B)=(1,1)</math> ו sup לא קיים.
*שימו לב ש <math>(1,1)</math> הוא איבר קטן ביותר. ==תרגיילים נוספים== ===תרגיל ממבחן=== הגדרה: תת קבוצה A של המספרים הממשיים נקראת 'מגניבה' אם לכל x,y בA כך ש-x שונה מ-y מתקיים שההפרש x-y אינו רציונאלי. תהי B קבוצה מגניבה מקסימלית ביחס להכלה, הוכח שלכל מספר ממשי שאינו שייך לB קיים איבר בB כך שההפרש בינהם הוא רציונאלי. '''הוכחה.''' נניח בשלילה שקיים איבר ממשי r שאינו בB, ולכל איבר b ב-B ההפרש r-b אינו רציונאלי. לכן אם נוסיף את r ל-B נקבל קבוצה מגניבה המכילה ממש את B (ולא שווה לה) בסתירה למקסימאליות של B. ===תרגיל=== נביט בQ אוסף השברים המצומצמים. נביט בR היחס המוגדר על ידי <math>(\frac{m_1}{n_1},\frac{m_2}{n_2})</math> אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math>. הוכיחו/הפריכו: R הינו יחס סדר חלקי. '''פתרון.''' נבדוק את תכונות היחס:*רפלקסיביות - ברור.*אנטי-סימטריות - אם <math>(m_1\leq m_2)\and(n_1\leq n_2)</math> וגם <math>(m_1\geq m_2)\and(n_1\geq n_2)</math> אזי <math>(m_1= m_2)\and(n_1= n_2)</math> ולכן שני השברים המצומצמים שווים.*טרנזיטיביות - נובעת מהטרנזיטיביות של המונים והמכנים בנפרד. לכן R הינו יחס סדר חלקי. שאלה: מה היה קורה אילו לא דרשנו שברים מצומצמים?
=== תרגיל (ממבחן קיץ תשעה מועד ב) ===