שינויים

*נניח <math>f g \circ gf</math> חח"ע. הוכח/הפרך: f g חח"ע, g f חח"ע *נניח <math>f g \circ gf</math> על. הוכח/הפרך: f g על, g f על

נניח <math>f g \circ gf</math> חח"ע. נניח בשלילה ש-g f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>x,y</math> כך ש <math>gf(x)=gf(y)</math> אבל <math>x\neq y</math>. אבל, <math>fg\circ g f (x) = f(g(f(x))=f(g(f(y))=fg\circ gf(y)</math> בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן g f חח"ע.

לגבי f g ניתן דוגמא נגדית: <math>f(x)=e^x,g(y)=y^2</math> ההרכבה היא <math>f(x)=e^{2x}</math>

נניח <math>f g \circ gf</math> על. נסמן <math>f g \circ g f : A\rightarrow B</math> אזי לכל איבר <math>b\in B</math> קיים איבר <math>a\in A</math> כך ש <math>f(g(f(a))=b</math>. לכן עבור f g לכל b קיים <math>gf(a)</math> שנותן את b תחת f g ולכן f g על.

דוגמא נגדית ל gf: נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. <math>gf(n)=2n</math>, והפונקציה f g מוגדרת כ <math>fg(2n)=n</math> ו <math>fg(2n+1)=n</math>. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל g f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.