שינויים
הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.
*נניח <math>g \circ f</math> על. הוכח/הפרך: g על, f על
נניח <math>g \circ f</math> חח"ע. נניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>x,y</math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math> אבל <math>x\neq y</math>. אבל, <math>g\circ f (x) = g(f(x))=g(f(y))=g\circ f(y)</math> בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן f חח"ע.
(עוד דוגמא נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. <math>f(n)=2n</math>, והפונקציה g מוגדרת כ <math>g(2n)=n</math> ו <math>g(2n+1)=n</math>. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.)
'''הערה:''' לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ id =f</math> וגם <math>id \circ f =f</math>
דרך אחרת להוכחת יחידות: נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות על איבר אחד לפחות. כלומר, <math>\exists a\in A:g(a)\neq h(a)</math>. אבל <math>f(g(a))=f(h(a))</math> וזו סתירה לחח"ע של f.
====מסקנהמשפט====יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> הפיכות/חח"ע/על. הוכח שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה/חח"ע/על =====הוכחה===== חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מח"ע של <math>f_k</math> נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל <math>x_1=x_2</math> על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש <math>f_k</math> על קיים <math>a_k\in A</math> כך ש <math>f_k(a_k)= y</math> באותו אופן קיים <math>a_{k-1}</math> כך ש <math>f_{k-1}(a_{k-1}=a_k</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\dots f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y</math> הפיכות: נובע מחח"ע+על ====מסקנות====
* אם <math>f,g</math> הפיכות אז <math>g\circ f</math> הפיכה.
5 <math>\{4,5,6\}^{\{1,2,3\}}\to \{4,5,6\}\times \{4,5,6\}\times\{4,5,6\}</math>, המוגדרת <math>f\mapsto (f(1),f(2),f(3))</math> חח"ע ועל.
====תרגיל ===יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> הפיכות/חח"ע/על. הוכח שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה/חח"ע/על הוכחה: חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מח"ע של <math>f_k</math> נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל <math>x_1=x_2</math> על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש <math>f_k</math> על קיים <math>a_k\in A</math> כך ש <math>f_k(a_k)= y</math> באותו אופן קיים <math>a_{k-1}</math> כך ש <math>f_{k-1}(a_{k-1}=a_k</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה) ונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\dots f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y</math> הפיכות: נובע מחח"ע+על ===תרגיל ===
הוכח כי אם <math>g\circ f \circ g =id</math> אז <math>f </math> הפיכה
