שינויים
/* פונקציות */
==פונקציות==
'''הגדרה:''' (אפשר לדלג ולהתמקד בתחום וטווח של פונקציות ולא של יחסיים כללים) יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
*התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
*<math>f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(p)=p</math>. זו פונקציית הזהות.
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( חח"ע ו על)
* <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הכלל <math>f(x)=\sin(x)</math>.
*<math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> המוגדרת ע"י הכלל <math>f(x)=x^{3}</math>
* <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> המוגדרת ע"י הכלל <math>f(x)=x^{2}</math>
*<math>f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> כאשר <math>f(x)=x-1</math> ( לא מוגדר כי <math>f(1)=?</math>)
*<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}</math> כאשר <math>f(x)=[x]</math> מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע
* תהא <math>A\subseteq B</math> אזי הפונקציה <math>i : A\to B </math> המוגדרת <math>i(a)=a</math> נקראת פונקציה ההכלה (במקרה ש <math>A=B</math> זה פונקצית הזהות). פונקצית ההכלה היא חח"ע.
====תרגיל(בשיעוריי הבית)====
יהיו A ו-B קבוצות סופיות בעלות עוצמה זהה. הוכח שכל פונקציה מ-A ל-B הינה על אם"ם היא חח"ע
נסמן <math>f:A\to B, A=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . כאשר כל האיברים ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
==== תרגיל ====
א. תהא A קבוצה לא ריקה. מצאו פונקציה על <math>F:A^A\to A</math>שהיא על. ב. תהא <math>A</math> קבוצה. מצאו פונקציה <math>F:A\to A^A</math> שהיא חח"ע. ג. למה בסעיף א צריך לא ריקה ובסעיף ב אפשר גם ריקה?
==== תרגיל ====
הוכיחו שאם <math>f</math> על, אז <math>g</math> לא חח"ע.
==== תרגיל ====
תהא <math>g:\mathbb{N}\to \mathbb{N}</math> פונקציה. נגדיר <math>F:\mathbb{N}^{\mathbb{N}}\to \mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math> ע"י <math>F(f)=g\circ f</math>. הוכיחו כי F חח"ע אמ"מ g חח"ע.
=====פתרון=====
<math>\Leftarrow</math>: נתון: F חח"ע. נניח <math>g(n)=g(m)</math>, לכן עבור הפונקציות הקבועות <math>f\equiv n,f'\equiv m</math> נקבל <math>\forall k:g\circ f(k)=g((n)=g(m)=g\circ f'(k)</math> ולכן <math>F(f)=g\circ f=g\circ f'=F(f')</math>, ומחח"ע של F נקבל <math>f=f'</math> ולכן <math>n=m</math>.
<math>\Rightarrow</math>: נתון <math>g</math> חח"ע. תהיינה <math>f\neq f'\in \mathbb{N}^{\mathbb{N}}</math>, לכן יש <math>n\in \mathbb {N}</math> כך ש- <math>f(n)\neq f'(n)</math>, ולכן זה מתקיים גם אחרי ההרכבה, ולכן <math>F(f)\neq F(f')</math>.
====תרגיל====
*נניח <math>g \circ f</math> על. הוכח/הפרך: g על, f על
נניח <math>g \circ f</math> חח"ע. נניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>x,y</math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math> אבל <math>x\neq y</math>. אבל, <math>g\circ f (x) = g(f(x))=g(f(y))=g\circ f(y)</math> בסתירה לחח"ע של ההרכבה, ולכן f חח"ע.
(עוד דוגמא נביט בפונקציות מהטבעיים לטבעיים. <math>f(n)=2n</math>, והפונקציה g מוגדרת כ <math>g(2n)=n</math> ו <math>g(2n+1)=n</math>. ההרכבה הינה פונקצית הזהות שהיא בפרט על, אבל f אינה על כיוון שהאי זוגיים כלל לא נמצאים בתמונה שלה.)
'''הערה:''' לכל פונקציה <math>f</math> מתקיים <math>f\circ id =f</math> וגם <math>id \circ f =f</math>
הערה: זכרו שפונקציה היא יחס. הפונקציה ההופכית שלה היא היחס ההופכי מטבע הדברים. על מנת שהיחס ההופכי יהיה פונקציה הוא צריך להיות ח"ע ושהתחום שלו יהיה כל B. תנאים אלה מתממשים רק אם f הינה חח"ע ועל.
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. כמו כן, הוכח שאם קיימת הופכית אזי היא יחידה.
אם f הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = id_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = id_A</math>. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע ש-f חח"ע ועל לפי התרגיל הקודם בדבר הרכבת פונקציות.
דרך אחרת להוכחת יחידות: נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות על איבר אחד לפחות. כלומר, <math>\exists a\in A:g(a)\neq h(a)</math>. אבל <math>f(g(a))=f(h(a))</math> וזו סתירה לחח"ע של f.
====משפט====
יהיו <math>f_1,\dots f_k:A\to A</math> הפיכות/חח"ע/על. הוכח שההרכבה <math>f_k \circ \dots \circ f_1</math> הפיכה/חח"ע/על
=====הוכחה=====
חח"ע: נניח <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_k \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> אזי מח"ע של <math>f_k</math>
נקבל כי <math>(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_1) =(f_{k-1} \circ \dots \circ f_1)(x_2)</math> באופן דומה נמשיך (או באינדוקציה) ונקבל <math>x_1=x_2</math>
על: יהא <math>y\in A</math> כיוון ש <math>f_k</math> על קיים <math>a_k\in A</math> כך ש <math>f_k(a_k)= y</math>
באותו אופן קיים <math>a_{k-1}</math> כך ש <math>f_{k-1}(a_{k-1}=a_k</math> נמשיך באופן דומה (או באינקודציה)
ונקבל <math>(f_k \circ \dots \circ f_1)(a_1)=(f_k \circ \dots \circ f_2)(a_2)=\dots f_k\circ f_{k-1} (a_{k-1}) = f_k(a_k)=y</math>
הפיכות: נובע מחח"ע+על
====מסקנות====
* אם <math>f,g</math> הפיכות אז <math>g\circ f</math> הפיכה.
* אם <math>g\circ f</math> הפיכה אז <math>f</math> חח"ע, <math>g</math> על (והן לאו דוקא הפיכות).
==== דוגמאות ====
3 תהא <math>A</math> קבוצה ו <math>C\subseteq A</math> תת קבוצה. נגדיר <math>f:P(A)\to \{0,1\}</math> ע"י :
f(B)=
\begin{cases} 1 & \text{ if } C\subseteq B \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}
להגדיר <math>f:\{R \; | \; R \text{ Equivalence relation }\}\to \{\text{Partitions of }A\}</math> ע"י <math>f(R)=A/R</math> והיא תהיה חח"ע ועל כי ראינו את הפונקציה ההופכית לה
הוכח כי אם <math>g\circ f \circ g =id</math> אז <math>f </math> הפיכה
