<math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math>
'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> חח"ע, ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>f^{-1}(f(A))=A</math>.
'''פתרון.'''
ישירות מההגדרות נובע שאם <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f(A)</math> ולכן <math>a\in f^{-1}(f(A))</math>. סה"כ הראנו <math>A\subseteq f^{-1}(f(A))</math>. (עד כה זה נכון לכל העתקה, לאו דווקא חח"ע.)
נניח כעת בשלילה ש <math>f^{-1}(f(A))\neq A</math> לכן קיים <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> כך ש <math>x\notin A</math>. לכן לפי ההגדרה, <math>f(x)\in f(A)</math>. לכן קיים a בA כך ש <math>f(a)=f(x)</math>. מתוך החח"ע נובע ש-x=a בסתירה.
'''פתרון.'''
תהי f חח"ע שאינה על (קל למצוא כאלה). אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math>. לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\}=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g. *לכן '''ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו'''.
*אם כן, הוכחנו ש-'''f על אם"ם g חח"ע.''' יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. *לכן '''יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו'''. נניח וg על ונניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>a,b \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> נניח וקיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>g(B)=A</math>, לכן <math>f(x)\in B</math>. אבל אז בעצם גם <math>f(y)\in B</math> ולכן <math>y\in g(B)=A</math> בסתירה. לכן f חח"ע. נניח f חח"ע, הוכחנו כבר שבהכרח <math>f^{-1}(f(A))=A</math> לכל A תת קבוצה של X. נובע ש <math>g(f(A))=A</math> ולכן g הינה על. *סה"כ, הוכחנו ש'''f חח"ע אם"ם g הינה על'''. ניקח f פונקציה חח"ע שאינה על, לכן g היא על. *לכן '''ייתכן ו-g הינה על אך f אינה על''' באופן דומה ניקח f על שאינה חח"ע, לכן g אינה על.
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y. *לכן '''יתכן ייתכן ו-f הינה על אך g חח"ע אך f אינה כזועל'''.