*לכן '''ייתכן ו-f הינה על אך g אינה על'''
'''הגדרה.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש <math>f|_A(a)=f(a)</math>.
'''דוגמא.'''
נביט ב<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע.
'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש<math>f|_A</math> חח"ע
'''פתרון.'''
פייי זו שאלה קשה. תזכירו לנו אותה כאשר נגיע לאקסיומת הבחירה. (שכן נביט ב<math>\{f^{-1}(\{y\})|y\in Y\})</math> ונרצה לבחור איבר יחיד מבין כל קבוצה כזו. אקסיומת הבחירה היא זו המאפשרת לנו לבצע בחירה זו בשלום.)
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow A</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\rightarrow (f(a),f(b)\in R</math>
'''תרגיל מוטיבציה להגדרה לעיל.'''
המוטיבציה להגדרה הזו היא היכולת לגזור ממנה פונקציה על חבורת המנה. נגדיר יחס על חבורת המנה <math>g=\{([a],[f(a)])|a\in A\}</math>. נוכיח ש-g הינה חד-ערכית ולכן פונקציה.
'''הוכחה'''
נניח וקיימים <math>a,b\in A</math> כך ש <math>[a]=[b]</math>. לכן <math>(a,b)\in R</math> ולכן <math>(f(a),f(b))\in R</math> ולכן <math>[f(a)]=[f(b)]</math>. לכן לא ייתכן מצב בו <math>(x,y),(x,z)\in g</math> אבל <math>y\neq z</math>.
'''דוגמא.'''