'''הגדרה:''' יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:
*התחום של R הינו <math>dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}=\{(*,\;),(*,\;)\dots \}</math>
*התמונה של R הינה <math>im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}=\{(\;,*),(\; ,*)\dots \}</math>
'''דוגמא.'''
*אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A
*<math>R=\{(1,a),(2,b),(3,a),(a,1)\}</math> אזי התחום הוא <math>dom(R)=\{a,1,2,3\}</math> והתמונה הינה <math>im(R)=\{1,a,b\}</math>
'''הגדרה:'''
*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math>
*יחס R נקרא '''חד-חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)</math> (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
*יחס R נקרא '''על''' אם <math>\forall b\in B:\exists a\in A:(a,b)\in R</math> כלומר <math>im(R)=B</math>
*יחס R מ-A ל-B נקרא '''שלם''' אם <math>\forall a\in A:\exists b\in B:(a,b)\in R</math>כלומר <math>dom(R)=A</math>*יחס R נקרא '''חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)</math> כלומר אין איבר שנשלח ל-2 מקומות שונים*יחס R נקרא '''חד-חד ערכי''' אם <math>[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)</math> כלומר איברים שונים נשלחים למקומות שונים (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
'''הגדרה:'''
יחס חד ערכי ושלם נקרא '''פונקציה'''; נסמן במקרה זה <math>(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)</math>. (נהוג להניח כי מסתכלים על הפונקציה מהתחום שלה אל קבוצה כלשהיובאופן כללי <math>f:A\to B \;\; , זה a \mapsto f(a)</math>. (A נקרא תחום הגדרהשל הפונקציה.)
'''דוגמאות:'''
'''הוכחה.'''
נניח שהפונקציה חח"ע. נזכר שפונקציה הינה יחסנסמן <math>f:A\to B, ונספור את הזוגות הסדורים שהיא מכילה; מכיוון שהתחום של הפונקציה הוא A מספר הזוגות הוא בדיוק מספר האיברים בA (מתוך חד ערכיות והעובדה שזה תחום)=\{a_1,\dots a_n\},B=\{b_1,\dots b_n\} </math> . לכל איבר בA קיים זוג יחיד בפונקציה. אם היה זוג שהיה מקבל את אותו איבר בB זו הייתה סתירה לח"ע ולכן מספר האיברים מB שמופיעים בזוגות הוא כמספר האיברים בA. מכיוון שעוצמת הקבוצות זהה, כאשר כל האיברים מB מופיעים בזוג ולכן הפונקציה על.ב A שונים זה מזה וכנ"ל ל B
נניח שהפונקציה על. אם היא לא הייתה <math>f </math> חח"ע היה איבר בB שחוזר אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|=n</math> כיוון ש <math>\{f(a_1),\dots f(a_n)\}\subseteq B </math> מתקיים שיוון ולכן <math>f </math> על עצמו בזוגות לעיל ולכן מספר האיברים המופיע בB היה לכל היותר מספר האיברים בA פחות אחד בסתירה.
'''תרגיל.'''יהיו A וB קבוצות אינסופיות. האם כל פונקציה בינהן היא נניח <math>f </math> על אם"ם היא . נניח בשלילה ש <math>f </math> אינה חח"ע?אזי <math>|\{f(a_1),\dots f(a_n)\}|<n</math> ואז <math>f </math> אינה על -סתירה.
'''פתרוןהערה: הדבר אינו נכון אם A וB קבוצות אינסופיות.'''לא. דוגמא: למשל פונקצית הערך השלם על ואינה חח"ע '''הגדרה:'''יהיו <math>f:A\to B, g:B\to C </math> שתי פונקציות אזי ההרכבה שלהם <math>g \circ f:A\to C </math> מוגדרת <math>g \circ f(a)=g(f(a)) </math>
'''תרגיל.'''