88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 4

פונקציות

הגדרה: יהיו A,B קבוצות וR יחס בינהן. אזי:

• התחום של R הינו $dom(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\}$
• התמונה של R הינה $im(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}$

דוגמא.

• אם R יחס מלא על A אזי האיחוד של התמונה והתחום שווה A
• $R=\{(1,a),(2,b),(3,a)\}$ אזי התחום הוא $dom(R)=\{1,2,3\}$ והתמונה הינה $im(R)=\{a,b\}$

הגדרה:

• יחס R נקרא חד ערכי אם $[(x,b)\in R] \and [(x,d) \in R] \rightarrow (d=b)$
• יחס R נקרא חד-חד ערכי אם $[(x,b)\in R] \and [(y,b) \in R] \rightarrow (x=y)$ (כלומר, היחס ההופכי הינו חד ערכי)
• יחס R נקרא על אם $\forall b\in B:\exists a\in A:(a,b)\in R$ כלומר $im(R)=B$

הגדרה:

יחס חד ערכי נקרא פונקציה; נסמן במקרה זה $(a,b)\in R\leftrightarrow b=R(a)$.

דוגמאות:

• $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ כאשר $f(p)=p^2$ (אינה חח"ע ואינה על)
• $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ כאשר $f(p)=p$. זו נקראת פונקצית הזהות והיא חח"ע וגם על
• $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{Z}$ כאשר $f(x)=[x]$ מוגדר להיות הערך השלם הקרוב ביותר ל-x (במקרה של חצי לוקחים את הגבוה). זו פונקציה על שאינה חח"ע