שינויים

'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}</math>.

שימו לב שהסימון להבדל בין התמונה ההפוכה <math>f^{-1}(B)</math> אינו רומז בשום צורה שהפונקציה צריכה להיות לבין הפונקציה ההופכית <math>f^{-1}(y)</math>. התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה, הגדרה זו תקפה לכל . הדרך להבחין בין פונקציההפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא ''איבר'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו <math>y \in Y</math>) או שנמצאת ''תת-קבוצה'' של התמונה (בדוגמאות לעיל זו <math>B\subseteq Y</math>).

הוכח/הפרך: תהא תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y, \; A,B \subset X</math> . אזי <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math>

נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי:

בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A(</math>

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g.