'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>
כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>.
למה זה טוב?
כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math>
באופן מפורש <math>g=\{([a],f(a))|a\in A\}</math>.
טענה: g אכן פונקציה
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.
==== דוגמא ====
נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x.
בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:
# <math>\{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \}</math>
# <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math>
'''דוגמא לחידוד'''
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב?
'''פתרון'''
לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N}</math>. לפי היחס שהגדרנו מתקיים <math>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}</math> אבל לא מתקיים <math>f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)</math>
במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
