שינויים

==המשך פונקציות- פונקציות על תת-קבוצות==

'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, <math>f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}</math>.=תמונות חלקיות===

שימו לב שהסימון '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי '''התמונה החלקית של A תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, ו'''התמונה החלקית ההפוכה של B תחת f''' היא התת-קבוצה <math>f^{-1}(B)=\{a\in X|f(a)\in B\}</math> אינו רומז בשום צורה שהפונקציה צריכה להיות הפיכה, הגדרה זו תקפה לכל פונקציה.

'''תרגיל.'''==== דוגמאות ====הוכחתהא <math>D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}</הפרךmath> פונקצית דריכלה. אזי <math>D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18))</math> תהא <math>f: X\to Y</math> פונקצית . אזי <math>f^{-1}(Y)=X</math> תהא <math>f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z}</math> פונקצית הערך השלם התחתון. אזי <math>f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2)</math>  ==== תכונות ====# אם <math>A_1\subseteq A_2</math> אזי <math>f(A_1)\subseteq f(A_2)</math># אם <math>B_1\subseteq B_2</math> אזי <math>f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)</math># הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות.  ==== תרגיל ====הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z, W\; subseteq X, A,B \subset subseteq Y</math>. אזי # <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math> # <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math> # <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math> # <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math># <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math> פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה. ====תרגיל====הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math>

נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי:

'''תרגיל.הערה'''הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו! ===תרגיל (בהרצאה בד"כ)===

'''===תרגיל.'''(בXI)===

 '''===תרגיל ממבחן (קצת משודרג).'''===

1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע '''בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A(</math>

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math> לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g.

יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.   '''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש <math>f|_A(a)=f(a)</math>.  '''דוגמא.''' נביט ב<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע.  '''תרגיל.'''תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש<math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math> '''פתרון.''' פייי זו שאלה קשה. תזכירו לנו אותה כאשר נגיע לאקסיומת הבחירה. (שכן נביט ב<math>\{f^{-1}(\{y\})|y\in im(f)\subseteq Y\})</math> ונרצה לבחור איבר יחיד מבין כל קבוצה כזו. אקסיומת הבחירה היא זו המאפשרת לנו לבצע בחירה זו בשלום.)

כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>/.

1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math> , צ"ל <math>fg([a])=fg([b])</math> וזה אכן מתקיים כי f . מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, מוגדרת ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>.

'''בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:# <math>\{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \}</math># <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math> ====דוגמא לחידוד'''====האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב?

לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N}</math>. לפי היחס שהגדרנו מתקיים <math>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}</math> אבל לא מתקיים <math>f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)</math>