שינויים
/* תרגיל */
הוכח/הפרך: תהיינה <math>A,B \subseteq X</math> ותהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math>. אזי <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math>
'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו!
===תרגיל(בהרצאה בד"כ)===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>
===תרגיל(בXI)===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>.
===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)===
'''פתרון.'''
1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע '''
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
===פונקציה מצומצמת= תרגיל (בהרצאה בד"כ) ==== '''הגדרהתהיינה A,B קבוצות לא ריקות.''' הוכיחו כי:תהי # אם קיימת <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Xto B</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: חח"ע אזי קיימת <math>f|_Ag:B\to A\rightarrow Y</math> כך ש-<math>f|_A(a)=f(a)</math>על. '''דוגמא.''' נביט ב-# אם A,B סופיות: קיימת <math>f:A\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}to B</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת אמ"מ <math>f|_{A|\mathbb{N}}leq |B|</math> כן חח"ע. '''תרגיל.'''תהי # אם A,B סופיות: קיימת <math>f:XA\rightarrow Yto B</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-<math>f|_A</math> חחעל אמ"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר מ <math>im(f|_A)=im(f)</math>). '''פתרון.''' נגדיר לכל <math>yB|\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math>כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>leq |A=\{x_y | y\in im (f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>. '''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===
# <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math>
האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב?
הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
===פונקציה מצומצמת===
'''הגדרה.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש-<math>f|_A(a)=f(a)</math>.
'''דוגמא.'''
נביט ב-<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע.
'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-<math>f|_A</math> חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math>).
'''פתרון.'''
נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math>
כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\{x_y | y\in im (f)\}</math>. כיוון שבחרנו מקור '''לכל''' תמונה, ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>.
'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
==== תרגיל ====
תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g|_{Im(f)}</math> חח"ע.
הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע.
