שינויים
/* תרגיל */
==== תרגיל ====
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y</math>. אזי # <math>f^{-1}([A)]\cap f^{-1}([B)]=f^{-1}([A\cap B)]</math> # <math>f^{-1}([A)]\cup f^{-1}([B)]=f^{-1}([A\cup B)]</math> # <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math> # <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math># <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math>
פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה.
====תרגיל====
'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו!
===תרגיל(בהרצאה בד"כ)===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>
===תרגיל(בXI)===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>.
===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)===
'''פתרון.'''
1. נמצא ב XI הטענה ''' f על אמ"מ g חח"ע '''
בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח <math>f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A)</math> נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) <math>B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A</math>
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ====תהא תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:# אם קיימת <math>f:A\to B</math> פונקציה בין קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי# אם f חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.# במידה ו אם A,B סופיות: קיימת <math>f :A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>|A|\leq |B|</math> # במידה ו אם A,B סופיות: קיימת <math>f :A\to B</math> על אמ"מ <math>|B|\leq |A|</math> === פונקציות המכבדות יחס שקילות ==='''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math> כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>. למה זה טוב?כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה <math>g:A/R \to B </math> ע"י <math>[a]_R \mapsto f(a) </math> באופן מפורש <math>g=\{([a],f(a))|a\in A\}</math>. טענה: g אכן פונקציה הוכחה: 1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם. 2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math>, צ"ל <math>g([a])=g([b])</math>. מהנתון ש <math>[a]=[b]</math> נובע ש <math>(a,b)\in R</math>, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים <math>f(a)=f(b)</math>, ולפי הגדרת g מתקיים <math>g([a])=f(a)=f(b)=g([b])</math>. ==== דוגמא ====נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x. בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:# <math>\{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \}</math># <math>\{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}</math> ====דוגמא ====האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p</math> מוגדרת היטב? '''פתרון'''לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של <math>\mathbb{Z}\times \mathbb{N}</math>. לפי היחס שהגדרנו מתקיים <math>\frac{1}{3}=\frac{2}{6}</math> אבל לא מתקיים <math>f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)</math> במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש! הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.
===פונקציה מצומצמת===
'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
==== תרגיל ====
תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g|_{Im(f)}</math> חח"ע.
הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע.
