שינויים
/* תרגיל */
==== תרגיל ====
הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה <math>f:X \to Y</math> ותהיינה <math>Z,W\subseteq X, A,B \subseteq Y</math>. אזי
# <math>f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]</math>
# <math>f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]</math>
# <math>f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]</math>
# <math>f^{-1}[A]\triangle f^{-1}[B]=f^{-1}[A\triangle B]</math>
# <math>f[Z]\triangle f[W]=f[Z\triangle W]</math>
פתרון: תחשבו. עדיף את שני האחרונים, כי הראשונים לפעמים נעשים בהרצאה.
====תרגיל====
'''הערה''' הטענה נכונה אם <math>f</math> חח"ע. הוכיחו!
===תרגיל(בהרצאה בד"כ)===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>A \subseteq f^{-1}(f(A))</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> חח"ע
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1,2\}\to \{1\}</math> (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר <math>A=\{2\}</math> ומתקיים <math> f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A</math>
===תרגיל(בXI)===
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq Y</math>. הוכח <math> f(f^{-1}(A)) \subseteq A</math>. וקיים שיוויון אם <math>f</math> על
דוגמא שלא מתקיים שיוויון <math>f:\{1\}\to \{1,2\}</math> המוגדרת <math>1\mapsto 1</math>. אזי נגדיר <math>B=\{1,2\}</math> ומתקיים <math> f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B</math>.
===תרגיל ממבחן (קצת משודרג)===
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
==== תרגיל (בהרצאה בד"כ) ====תהא תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:# אם קיימת <math>f:A\to B</math> פונקציה בין קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי# אם f חח"ע אזי קיימת <math>g:B\to A</math> על.# במידה ו אם A,B סופיות: קיימת <math>f :A\to B</math> חח"ע אמ"מ <math>|A|\leq |B|</math> # במידה ו אם A,B סופיות: קיימת <math>f :A\to B</math> על אמ"מ <math>|B|\leq |A|</math>
=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===
'''אזהרה!''' ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
==== תרגיל ====
תהיינה <math>f:A\to B, g:B\to C</math> פונקציות כך ש <math>g\circ f</math> חח"ע. הוכיחו כי <math>g|_{ImgIm(f)}</math> חח"ע.
הוכחה: אם מצמצם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, <math>f':A\to ImgIm(f), g|_{ImgIm(f)}:ImgIm(f):\to C</math>, נקבל כי <math>g\circ f=g|_{ImgIm(f)}\circ f'</math> חח"ע ובנוסף <math>f'</math> חח"ע ועל. מכאן ש <math>g|_{ImgIm(f)}=g\circ f\circ f'^{-1}</math> חח"ע כהרכבה של חח"ע.
