'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש<math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר <math>im(f|_A)=im(f)</math>
'''פתרון.'''
נגדיר לכל <math>y\in im(f)</math> את הקבוצה של המקורות שלו <math>B_y:=f^{-1}(\{y\})</math>
כעת נבחר מכל <math>B_y</math> איבר יחיד <math>x_y\in B_y</math>. נגדיר <math>A=\bigcup_{y\in im f}x_y</math>. כיוון ש'''בחרנו מקור''' לכל תמונה ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math>.
נגדיר <math>A=\bigcup_{y\in im f}x_y</math>. כיוון ש'''בחרנו מקוראזהרה!''' לכל תמונה ובחרנו מקור '''אחד''' אזי <math>f|_A</math> חח"ע עם אותו טווח של <math>f</math> אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)
=== פונקציות המכבדות יחס שקילות ===
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow B</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)</math>
כלומר אם a שקול ל b אזי <math>f(a)=f(b)</math>/.
למה זה טוב?
הוכחה:
1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.
2. g חד ערכית- נניח <math>[a]=[b]</math> , ואז <math>(a,b)\in R</math>. צ"ל <math>f(a)=f(b)</math> , וזה אכן מתקיים כי f מוגדרת היטב על קבוצת המנה.