נוספו 7,908 בתים,
09:40, 6 באוגוסט 2011 '''תרגיל.'''
הוכח כי f הפיכה אם"ם היא חח"ע ועל. כמו כן, הוכח שאם קיימת הופכית אזי היא יחידה.
'''הוכחה:'''
אם f הפיכה, אזי <math>f\circ f^{-1} = id_B</math> וגם <math>f^{-1}\circ f = id_A</math>. מכיוון שהזהות הינה חח"ע ועל, נובע שf חח"ע ועל לפי התרגיל הקודם.
אם f חח"ע ועל, אז היחס ההופכי שלה ח"ע ומוגדר והוא מהווה פונקציה הופכית. (אמנם החסרנו את רוב ההוכחה, אך היא פשוטה למדי.)
נניח בשלילה ש g וh הופכיות שונות של f. מכיוון שהן שונות, הן חייבות להיות שונות על איבר אחד לפחות. כלומר, <math>\exists a\in A:g(a)\neq h(a)</math>. אבל <math>f(g(a))=f(h(a))</math> וזו סתירה לחח"ע של f.
'''הגדרה.''' תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, ויהיו תת קבוצות <math>A\subseteq X,B\subseteq Y</math>. אזי <math>f(A)=\{f(a)|a\in A\}</math>, <math>f^{-1}(B)=\{a\in A|f(a)\in B\}</math>.
שימו לב שהסימון <math>f^{-1}(B)</math> אינו רומז בשום צורה שהפונקציה צריכה להיות הפיכה, הגדרה זו תקפה לכל פונקציה.
'''תרגיל.'''
הוכח/הפרך: <math>f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)</math>
'''פתרון.'''
נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים <math>x\neq y </math> כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. ניקח <math>A=\{x\},B=\{y\}</math> אזי:
<math>f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)</math>
'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> חח"ע, ותהי <math>A\subseteq X</math>. הוכח <math>f^{-1}(f(A))=A</math>.
'''פתרון.'''
ישירות מההגדרות נובע שאם <math>a\in A</math> אזי <math>f(a)\in f(A)</math> ולכן <math>a\in f^{-1}(f(A))</math>. סה"כ הראנו <math>A\subseteq f^{-1}(f(A))</math>. (עד כה זה נכון לכל העתקה, לאו דווקא חח"ע.)
נניח כעת בשלילה ש <math>f^{-1}(f(A))\neq A</math> לכן קיים <math>x\in f^{-1}(f(A))</math> כך ש <math>x\notin A</math>. לכן לפי ההגדרה, <math>f(x)\in f(A)</math>. לכן קיים a בA כך ש <math>f(a)=f(x)</math>. מתוך החח"ע נובע ש-x=a בסתירה.
'''תרגיל ממבחן (קצת משודרג).'''
יהיו <math>X,Y</math> שתי קבוצות, ותהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה <math>g:P(Y)\rightarrow P(X)</math> על ידי <math>g(B)=f^{-1}(B)</math>.
בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).
'''פתרון.'''
תהי f חח"ע שאינה על (קל למצוא כאלה). אזי <math>\exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y</math>. לכן <math>g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\}=g(Y/\{y\})</math> בסתירה לחח"ע של g.
*לכן '''ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו'''.
תהי f כך ש-g חח"ע. כפי שראינו לעיל, ניתן ישר להסיק ש-f הינה על.
נוכיח שאם f על אזי g חח"ע; נניח בשלילה שg אינה חח"ע, אזי קיימות שתי קבוצות <math>B\neq C \in P(Y)</math> כך ש <math>g(B)=g(C)</math>. בלי הגבלת הכלליות, נניח שקיים איבר <math>c\in C</math> כך ש <math>c\notin B</math>. מכיוון ש-f על, קיים איבר a כך ש <math>f(a)=c</math>, לכן <math>a\in g(B)</math>, ואז קיים <math>b\in B</math> כך ש<math>f(a)=b</math> ולכן b=c בסתירה.
*אם כן, הוכחנו ש-'''f על אם"ם g חח"ע.'''
יהיו <math>X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}</math>. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן <math>g(\{\})\neq g(\{0\})</math> ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.
*לכן '''יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו'''.
נניח וg על ונניח בשלילה ש-f אינה חח"ע. לכן קיימים <math>a,b \in X</math> שונים כך ש <math>f(x)=f(y)</math>. נביט בנקודון <math>A=\{x\}</math> נניח וקיימת <math>B\in P(Y)</math> כך ש <math>g(B)=A</math>, לכן <math>f(x)\in B</math>. אבל אז בעצם גם <math>f(y)\in B</math> ולכן <math>y\in g(B)=A</math> בסתירה. לכן f חח"ע.
נניח f חח"ע, הוכחנו כבר שבהכרח <math>f^{-1}(f(A))=A</math> לכל A תת קבוצה של X. נובע ש <math>g(f(A))=A</math> ולכן g הינה על.
*סה"כ, הוכחנו ש'''f חח"ע אם"ם g הינה על'''.
ניקח f פונקציה חח"ע שאינה על, לכן g היא על.
*לכן '''ייתכן ו-g הינה על אך f אינה על'''
באופן דומה ניקח f על שאינה חח"ע, לכן g אינה על.
*לכן '''ייתכן ו-f הינה על אך g אינה על'''
'''הגדרה.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> ותהי <math>A\subseteq X</math>. הפונקציה '''f מצומצמת לA''' מוגדרת על ידי: <math>f|_A:A\rightarrow Y</math> כך ש <math>f|_A(a)=f(a)</math>.
'''דוגמא.'''
נביט ב<math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> המוגדרת על ידי <math>f(x)=x^2</math> ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת <math>f|_{\mathbb{N}}</math> כן חח"ע.
'''תרגיל.'''
תהי <math>f:X\rightarrow Y</math> פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש<math>f|_A</math> חח"ע
'''פתרון.'''
פייי זו שאלה קשה. תזכירו לנו אותה כאשר נגיע לאקסיומת הבחירה. (שכן נביט ב<math>\{f^{-1}(\{y\})|y\in Y\})</math> ונרצה לבחור איבר יחיד מבין כל קבוצה כזו. אקסיומת הבחירה היא זו המאפשרת לנו לבצע בחירה זו בשלום.)
'''הגדרה.''' תהי <math>f:A\rightarrow A</math>, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי '''f מוגדרת היטב על <math>A/R</math>''' אם <math>\forall a,b\in A:(a,b)\in R\rightarrow (f(a),f(b)\in R</math>
'''תרגיל מוטיבציה להגדרה לעיל.'''
המוטיבציה להגדרה הזו היא היכולת לגזור ממנה פונקציה על חבורת המנה. נגדיר יחס על חבורת המנה <math>g=\{([a],[f(a)])|a\in A\}</math>. נוכיח ש-g הינה חד-ערכית ולכן פונקציה.
'''הוכחה'''
נניח וקיימים <math>a,b\in A</math> כך ש <math>[a]=[b]</math>. לכן <math>(a,b)\in R</math> ולכן <math>(f(a),f(b))\in R</math> ולכן <math>[f(a)]=[f(b)]</math>. לכן לא ייתכן מצב בו <math>(x,y),(x,z)\in g</math> אבל <math>y\neq z</math>.
'''דוגמא.'''
האם הפונקציה f על הרציונאליים המוגדרת על ידי <math>f(\frac{p}{q})=p</math> מוגדרת היטב?
'''פתרון.'''
יש לשים לב שלא באמת הגדרנו את הפונקציה על הרציונאליים, אלא על אוסף הזוגות הסדורים של שלמים <math>(p,q)</math> כך שהאיבר הימני שונה מאפס. נגדיר על קבוצה זו את יחס השקילויות R המוגדר על ידי <math>((p,q),(a,b))\in R</math> אם <math>pb=qa</math>. נראה כי f אינה מוגדרת היטב בתנאים אלו:
<math>((2,6),(1,3))\in R</math> אולם <math>f(2,6)=(2,1),f(1,3)=(1,1)</math> ו<math>((2,1),(1,1))\notin R</math>.
בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.