88-195 בדידה לתיכוניסטים תשעא/מערך שיעור/שיעור 5

מתוך Math-Wiki
גרסה מ־10:22, 6 באוגוסט 2019 מאת גלעד997 (שיחה | תרומות) (תרגיל)

(הבדל) → הגרסה הקודמת | הגרסה האחרונה (הבדל) | הגרסה הבאה ← (הבדל)
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

חזרה למערכי התרגול

המשך פונקציות - פונקציות על תת-קבוצות

תמונות חלקיות

הגדרה. תהי f:X\rightarrow Y פונקציה, ויהיו תת קבוצות A\subseteq X,B\subseteq Y. אזי התמונה החלקית של A תחת f היא התת-קבוצה f(A)=\{f(a)|a\in A\}, והתמונה החלקית ההפוכה של B תחת f היא התת-קבוצה f^{-1}(B)=\{a\in X|f(a)\in B\}.

שימו לב להבדל בין התמונה ההפוכה f^{-1}(B) לבין הפונקציה ההופכית f^{-1}(y). התמונה ההפוכה איננה מניחה כי הפונקציה f הפיכה. הדרך להבחין בין פונקציה הפיכה לתמונה ההפוכה היא לבדוק האם בין הסוגריים נמצא איבר של התמונה (בדוגמאות לעיל זהו y \in Y) או שנמצאת תת-קבוצה של התמונה (בדוגמאות לעיל זו B\subseteq Y).

דוגמאות

תהא D:\mathbb{R}\to \mathbb{R} פונקצית דריכלה. אזי D(\mathbb{Q})=\{1\},D^{-1}(\{1\})=\mathbb{Q}=D^{-1}((0.5, 18))

תהא f:X\to Y פונקצית . אזי f^{-1}(Y)=X

תהא f:\mathbb{R}\to \mathbb{Z} פונקצית הערך השלם התחתון. אזי f((-0.5,3/4))=\{-1,0\},f^{-1}(\{1\})=[1,2)


תכונות

  1. אם A_1\subseteq A_2 אזי f(A_1)\subseteq f(A_2)
  2. אם B_1\subseteq B_2 אזי f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)
  3. הוכיחו/הפריכו טענות מקבילות עם משלים של קבוצות.


תרגיל

הוכיחו/הפריכו: תהי f פונקציה f:X \to Y ותהיינה A,B \subseteq Y. אזי

  1. f^{-1}[A]\cap f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cap B]
  2. f^{-1}[A]\cup f^{-1}[B]=f^{-1}[A\cup B]
  3. f^{-1}[A\setminus B]=f^{-1}[A]\setminus f^{-1}[B]

פתרון: תחשבו

תרגיל

הוכח/הפרך: תהיינה A,B \subseteq X ותהי f פונקציה f:X \to Y. אזי f(A)\cap f(B)=f(A\cap B)

פתרון.

נפריך על ידי דוגמא נגדית. נניח וf אינה חח"ע, כלומר קיימים x\neq y כך ש f(x)=f(y). ניקח A=\{x\},B=\{y\} אזי:

f(A)\cap f(B) = \{f(x)\} \neq \phi = f(\{\}) = f(A\cap B)

הערה תמיד מתקיים f(A\cap B)\subseteq f(A)\cap f(B)

הערה הטענה נכונה אם f חח"ע. הוכיחו!

תרגיל (בהרצאה בד"כ)

תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq X. הוכח A \subseteq f^{-1}(f(A)). וקיים שיוויון אם f חח"ע

פתרון.

יהא a\in A אזי f(a)\in f(A) ולכן a\in f^{-1}(f(A)).

נראה את ההכלה בכיוון השני אם f חח"ע:

יהא x\in f^{-1}(f(A)) לכן f(x) \in f(A) לכן \exists a\in A : f(x)=f(a). כיוון ש f חח"ע נובע כי x=a\in A

דוגמא שלא מתקיים שיוויון f:\{1,2\}\to \{1\} (יש דרך אחת להגדיר את הפונקציה). אזי נגדיר A=\{2\} ומתקיים  f^{-1}(f(A))=\{1,2\}\neq A

תרגיל (בXI)

תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq Y. הוכח   f(f^{-1}(A)) \subseteq A. וקיים שיוויון אם f על

פתרון.

יהא f(x) \in f(f^{-1}(A)) כאשר x\in f^{-1}(A) ולכן  f(x)\in A .

נראה את ההכלה בכיוון השני אם f על:

יהא  a\in A כיוון ש f על \exists x\in X : f(x)=a  לכן  x  \in f^{-1}(A) . ואז a=f(x)\in f(f^{-1}(A))

דוגמא שלא מתקיים שיוויון f:\{1\}\to \{1,2\} המוגדרת 1\mapsto 1. אזי נגדיר B=\{1,2\} ומתקיים   f(f^{-1}(B)) =\{1\}\neq B.

תרגיל ממבחן (קצת משודרג)

יהיו X,Y שתי קבוצות, ותהי f:X\rightarrow Y פונקציה כלשהי. נגדיר את הפונקציה g:P(Y)\rightarrow P(X) על ידי g(B)=f^{-1}(B). בדוק את הקשר בין החח"ע/על של f לבין אלה של g. (כלומר, מה גורר את מה בהכרח).

פתרון.

1. נמצא ב XI הטענה f על אמ"מ g חח"ע בכיוון אחד- נתון ש f על. נניח f^{-1}(B)=g(B)=g(A)=f^{-1}(A) נפעיל את f על שני הצדדים ונקבל (בגלל ש f על) B=f(f^{-1}(B))=f(f^{-1}(A))=A

בכיוון השני- נתון כי g חח"ע. נניח בשלילה כי f אינה על אזי \exists y\in Y\forall x\in X:f(x)\neq y לכן g(Y)=f^{-1}(Y)=f^{-1}(Y/\{y\})=g(Y/\{y\}) בסתירה לחח"ע של g.


2. f חח"ע אמ"מ g על בכיוון אחד- נתון f חח"ע. אזי g(f(A))=f^{-1}(f(A))=A ולכן g על ( עבור A המקור שלה יהיה f(A) )

בכיוון השני- נתון g על. נניח בשלילה ש f אינה חח"ע אזי קיימים x,y \in X שונים כך ש f(x)=f(y). נביט בנקודון A=\{x\}

כיוון ש g על קיימת B\in P(Y) כך ש f^{-1}(B)=g(B)=A

לכן  \{f(x)\}= f(A)= f(f^{-1}(B))\subseteq B

ולכן \{y,x\}\subseteq f^{-1}(\{f(x)=f(y)\})= f^{-1}(\{f(x)\}) \subseteq f^{-1}(B)=g(B)=A=\{x\}

לכן \{y,x\}\subseteq \{x\} כלומר x=y. סתירה.

מכאן ניתן להסיק כי שאר הגרירות אינן מוכרחות:

  • ייתכן ו-f חח"ע אך g אינה כזו (ניקח f חח"ע שאינה על אזי g אינה חח"ע לפי 1)
  • יתכן ו-g חח"ע אך f אינה כזו. (ניקח g חח"ע שאינה על אזי f אינה חח"ע לפי 2)
  • ייתכן ו-f על אך g אינה כזו (ניקח f על שאינה חח"ע אזי g אינה על לפי 2)
  • ייתכן ו-g על אך f אינה כזו (ניקח g על שאינה חח"ע אזי f אינה על לפי 1)

אתם מוזמנים לתת דוגמאות למסקנות לעיל

למשל: יהיו X=\mathbb{Z}, Y=\{0\}. אזי קיימת פונקציה f יחידה מX לY. פונקציה זו אינה חח"ע כמובן, אך g כן חח"ע שכן g(\{\})\neq g(\{0\}) ואלה הקבוצות היחידות בקבוצת החזקה של Y.

תרגיל

תהיינה A,B קבוצות לא ריקות. הוכיחו כי:

  1. אם קיימת f:A\to B חח"ע אזי קיימת g:B\to A על.
  2. אם A,B סופיות: קיימת f:A\to B חח"ע אמ"מ |A|\leq |B|
  3. אם A,B סופיות: קיימת f:A\to B על אמ"מ |B|\leq |A|

פונקציות המכבדות יחס שקילות

הגדרה. תהי f:A\rightarrow B, ויהי R יחס שקילויות על A. אומרים כי f מוגדרת היטב על A/R אם \forall a,b\in A:(a,b)\in R\Rightarrow f(a)=f(b)

כלומר אם a שקול ל b אזי f(a)=f(b).

למה זה טוב? כדי שנוכל להגדיר פונקציה על קבוצת המנה g:A/R \to B ע"י [a]_R \mapsto f(a)

באופן מפורש g=\{([a],f(a))|a\in A\}.

טענה: g אכן פונקציה

הוכחה:

1. g שלמה - "לפי העיניים". כלל ההתאמה מנוסח כך שהיחס הוא שלם.

2. g חד ערכית- נניח [a]=[b], צ"ל g([a])=g([b]). מהנתון ש [a]=[b] נובע ש (a,b)\in R, ולכן, לפי הגדרת f כמוגדרת היטב על קבוצת המנה, מתקיים f(a)=f(b), ולפי הגדרת g מתקיים g([a])=f(a)=f(b)=g([b]).

דוגמא

נגדיר על השלמים יחס שקילות ע"י x~y אמ"מ y=x or y=-x.

בדקו מי מהבאות היא פונקציה מקבוצת המנה לשלמים:

  1. \{([n]_{~},n): n\in \mathbb{Z} \}
  2. \{([n]_{~},n^2): n\in \mathbb{Z} \}

דוגמא

האם f על הרציונאליים המוגדרת על ידי f\bigg(\frac{p}{q}\bigg)=p מוגדרת היטב?

פתרון לא! כזכור הרציונאליים הם קבוצת מנה של \mathbb{Z}\times \mathbb{N}. לפי היחס שהגדרנו מתקיים \frac{1}{3}=\frac{2}{6} אבל לא מתקיים f\bigg(\frac{1}{3}\bigg)=1\not=2=f\bigg(\frac{2}{6}\bigg)

במילים: לא ברור לאן f שולחת את השבר שליש!

הערה: בכוונה ניסחנו את התרגיל באופן הרומז על יחס השקילויות מבלי לומר אותו במפורש. זו הדרך בה נתקל במושג 'מוגדר היטב' במהלך התואר - יחס השקילויות יהיה מרומז בלבד.

פונקציה מצומצמת

הגדרה. תהי f:X\rightarrow Y ותהי A\subseteq X. הפונקציה f מצומצמת לA מוגדרת על ידי: f|_A:A\rightarrow Y כך ש-f|_A(a)=f(a).

דוגמא. נביט ב-f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} המוגדרת על ידי f(x)=x^2 ואינה חח"ע. נכון לומר שהפונקציה המצומצמת f|_{\mathbb{N}} כן חח"ע.


תרגיל. תהי f:X\rightarrow Y פונקציה, הוכח שקיימת קבוצה A כך ש-f|_A חח"ע עם אותה התמונה כמו הפונקציה המקורית (כלומר im(f|_A)=im(f)).

פתרון.

נגדיר לכל y\in im(f) את הקבוצה של המקורות שלו B_y:=f^{-1}(\{y\}) כעת נבחר מכל B_y איבר יחיד x_y\in B_y. נגדיר A=\{x_y | y\in im (f)\}. כיוון שבחרנו מקור לכל תמונה, ובחרנו מקור אחד אזי f|_A חח"ע עם אותו טווח של f.

אזהרה! ההוכחה מתבססת על אקסיומת הבחירה (נפגש איתה בהמשך)

תרגיל

תהיינה f:A\to B, g:B\to C פונקציות כך ש g\circ f חח"ע. הוכיחו כי g|_{Im(f)} חח"ע.

הוכחה: אם נצמצם את הטווח והתחום של הפונקציות, f':A\to Im(f), g|_{Im(f)}:Im(f)\to C, נקבל כי g\circ f=g|_{Im(f)}\circ f' חח"ע ובנוסף f' חח"ע ועל. מכאן ש g|_{Im(f)}=g\circ f\circ f'^{-1} חח"ע כהרכבה של חח"ע.